[Resuelto] 8/7/06 - Tema 1 - Ej. 5 - 2do P

Espero que alguien me pueda ayudar con este ejercicio.

Determinar todos los \(z \in \mathbb{C}\) que verifiquen simultáneamente las siguientes ecuaciones:

Muchas gracias.

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De la primera ecuación despejás \(|z|\). Como los coeficientes del "polinomio" son reales, y tu incógnita es real también (y positiva), podés usar la fórmula resolvente.
Te queda \(|z|=1\) ó \(|z|=-2\). La segunda opción no puede ser porque el módulo es un número positivo.

Con la segunda ecuación:

Entonces \(z^2=0\) ó \(z^6+z^4+z^2+1=0\)

\(z^2=0 \Leftrightarrow z=0\). Esto no puede ser pues \(|0|= 0\neq 1\)

Llamo \(z^2=w\)
\(w^3+w^2+w+1= \frac{w^4-1}{w-1}=0\) si \(w \neq 1\) (es una suma geométrica)

\(w^4=z^8=1\) y \(z^2 \neq 1\) (si \(z= 1, -1\) queda \(4=0\))

Entonces \(z \in {G}_{8}\), \(z \neq 1\) y \(z \neq -1\)

No se si ya está el ejercicio (si las soluciones son las raíces octavas de la unidad excepto el \(1\)y el \(-1\)) ó si con las seis raíces restantes tenés que probar a ver si sirven o no :S)

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$$\bigstar Sofi \bigstar$$