[RESUELTO] 18/10/08 - Ej. 2 - 1°P - Relaciones de funciones

Quería comentar este ejercicio que cuando rendí por primera vez Álgebra I me hizo bastante ruido, sobretodo por no entender siquiera la definición de la relación. Dice así:

Sea H el conjunto de todas las funciones de \(\mathbb{Z}\) en \(\mathbb{Z}\). Definimos la relacion \(\simeq\) en H en la forma:

Bueno, analicemos qué es lo que tenemos que hacer.
Probar que \(\simeq\) es relación de equivalencia se limita a probar:
Sean \(f_{1},f_{2},f_{3}\in{H}\)

• Reflexividad: \(f \simeq f \,\, \forall \, f \in{H}\)

• Simetría: \(f_{1} \simeq f_{2} \, => \, f_{2} \simeq f_{1}\)

• Transitividad: \(f_{1} \simeq f_{2},\, f_{2} \simeq f_{3} \, => \, f_{1} \simeq f_{3}\)

Creo que la primera dificultad que tuve cuando leí este problema por primera vez fue pensar en relaciones entre funciones, pero vamos a ver que no es muy distinto a lo que ya sabemos.
En definitiva lo que nos dice el enunciado es que dos funciones están relacionadas si y solo si la cantidad de puntos sobre los cuales difieren (ie: \(f(a) \neq g(a)\)) es finita.
Veamos:

Recordemos que \(f_{1},f_{2},f_{3} \in{H}\)

Reflexividad.
Luego queremos ver si \(\forall\, f\in{H} \,\, f \simeq f\).
Esto ocurre si y solo si

O sea que van a estar relacionadas si puedo contar la cantidad de puntos a tales que \(f(a) \neq f(a)\). Pero trivialmente,\(f(a) = f(a) \forall a\in{\mathbb{Z}}\). Una función es igual a sí misma!. Luego no existe ningún \(a\in{\mathbb{Z}}\) que cumpla esa condición. Luego \(P = \varnothing\). Asumimos que \(\varnothing\) es finito.

Simetría.
Queremos ver que:

Si \(f_{1} \simeq f_{2} \, => \, P_{f_{1}} = \{ a \in{\mathbb{Z}} / f_{1}(a) \neq f_{2}(a) \} $ es un conjunto finito.$\) Claramente, \(f_{1}(a) \neq f_{2}(a) <=> f_{2}(a) \neq f_{1}(a)\). Es decir lo mismo en distinto orden! Llamemos \(P_{f_{2}} = \{ a \in{\mathbb{Z}} / f_{2}(a) \neq f_{1}(a) \}\). Claramente pues como mencioné arriba: \(P_{f_{1}} = P_{f_{2}}\). Entonces \(P_{f_{2}}\) es finito pues es el mismo conjunto que \(P_{f_{1}}\)

Transitividad.
En general la transitividad da problemas.
Tenemos que demostrar \(f_{1} \simeq f_{2},\, f_{2} \simeq f_{3} \, => \, f_{1} \simeq f_{3}\)
Escribamos las hipótesis. Como \(f_{1} \simeq f_{2}\). Entonces \(A = \{ a \in{\mathbb{Z}} / f_{1}(a) \neq f_{2}(a) \} $ es un conjunto finito.$\)
Análogamente, como \(f_{2} \simeq f_{3}\). Entonces \(B = \{ a \in{\mathbb{Z}} / f_{2}(a) \neq f_{3}(a) \} $ es un conjunto finito.$\)

Quisieramos ver que \(f_{1} \simeq f_{3}\), o sea : \(C = \{ a \in{\mathbb{Z}} / f_{1}(a) \neq f_{3}(a) \} $ es un conjunto finito.$\)

En realidad acá la idea es hacer unos gráficos de tres funciones relacionadas hasta que uno se da cuenta de que si \(f_{1}(a) \neq f_{3}(a)\) entonces necesariamente pasa que \(f_{1}(a) \neq f_{2}(a) \lor f_{2}(a) \neq f_{3}(a)\).
En otras palabras, uno se da cuenta de lo siguiente: \(C \subseteq A \cup B\). Y fíjense que si probamos esto, es automático que C es finito. Pues A y B son finitos, luego la unión de dos conjuntos finitos es finita (No es en general cierto que la unión infinita de finitos sea finita..., pero para dos conjuntos vale), y C como subconjunto de un conjunto finito, es finito.

Sea \(x\in{C}\). Qvq \(x \in{A \cup B}\).
Luego \(f_{1}(x) \neq f_{3}(x)\) pues \(x\in{C}\).

Dividimos en dos casos
Caso 1: \(x\in{A}\)
En este caso no hay nada que probar. Pues \(x\in{A \cup B}\).

Caso 2: \(x\not\in{A}\)
Como \(x\not\in{A}\), debe ser que no pasa que \(f_{1}(x) \neq f_{2}(x)\). Entonces \(f_{1}(x) = f_{2}(x)\). (La negación de ser distintos es ser iguales).
Pero por hipótesis \(f_{1}(x) \neq f_{3}(x)\), y como \(f_{1}(x) = f_{2}(x)\), se tiene que reemplazando nos quedaría que \(f_{2}(x) \neq f_{3}(x)\).
Recordemos la definición de \(B = \{ a \in{\mathbb{Z}} / f_{2}(a) \neq f_{3}(a) \}\).
Luego \(x\in{B}\). Entonces \(x\in{ A \cup B}\)

Entonces probamos que \(x\in{C} => x\in{A \cup B}\), o en otras palabras \(C \subseteq A \cup B\) que era lo que queríamos probar.

Con eso concluimos que la relación es transitiva.

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http://imgs.xkcd.com/comics/command_line_fu.png

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