Buenas. Esta es una duda de un ejercicio de un final. Pero como no hay sección para finales, lo pongo aca.
El tema es asi. Tengo un hermoso ejercicio de combinatoria al que lo he mirado por varias horas y no se como contar. El ejercicio es el siguiente:
$$\textrm{Sea } A=\{n\in \mathbb{N} / 2 \leq n \leq 101\}. \textrm{Determinar cuantas funciones biyectivas } f:A \rightarrow A \textrm{ satisfacen que } f(i)=i+1 \textrm{ para todo i par y } f(i) > i \textrm{ para todo } i \leq 20$$
En principio todos los pares tienen su imagen asociada asi que solamente habria que ver las imagenes de los impares. Y aca es cuando se me complica la cosa. Quise aplicar el principio de inclusión exclusión, pero se me hace una galleta de casos (me queda el cardinal de una union de 9 conjuntos). Bueno, mientras sigo pensando como es. Muchas gracias.
Saludos!
Con los impares, empezá contando los casos de \(1,3,5,...,19\). Estudiá \(f(19)\geq 20\). Puesto que todos los impares ya los fijaste, podes elegir entre los pares de 20 a 100; tenés 41 posibilidades. Si mirás ahora con \(f(17)\geq 18\), tenés 42 posibilidades, pero ya usaste una. Tenés de nuevo 41 posibilidades. Así con todos los impares hasta el 1, tenés multiplicando \({41}^{10}\). Ahora solo tenés que mirar que te falta fijar; los impares restantes; como solo te quedan 50-10=40 impares, , y es una biyección, tenés \(40!\) maneras. Luego el total es \(40!{41}^{10}\). Fijate si te convence la idea.
Firma
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Si, me convence jaja. En realidad había llegado a un resultado parecido en un momento, pero no se porque lo descarte. Hice como cuando el jefe de policia de los simpson recibe el numero del secuestrador del hijo del señor burns, y lee "5 5 5...nah debe ser falso" XD.
En fin, muchas gracias!!