[Resuelto] 30/10/2009 - Ej 3 - 1er P - 2do Cuatrimestre

Se Arrojan cinco dados de distinto color. Se hace ESCALERA cuando se obtiene alguna de las siguientes combinaciones: 1-2-3-4-5; 2-3-4-5-6 o 3-4-5-6-1
Se hace FULL si se obtienen 3 dados del mismo numero y 2 iguales de otro.
a) Cual es la probabilidad de hacer ESCALERA?
b) Cual es la probabilidad de hacer FULL?

a):
Casos totales: Tengo 5 dados diferentes, por cada uno tengo 6 posibles numeros, entonces: \(6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^5\)
Casos Favorables: Como "1-2-3-4-5" es escalera, me puede salir "2-1-3-4-5" y tambien lo es, por lo tanto, los "desordeno" y me dan todas las formas que puedo obtener escalera en cada combinacion de las dadas por el enunciado..esto seria \(5!\), pero como las combinaciones para hacer escalera son 3, y todos son casos disjuntos, me queda \(5! + 5! + 5! = 3 \cdot 5!\)
Por lo tanto, la probabilidad de hacer escalera es: \(\frac{3 \cdot 5!}{6^5}\)

b):
Casos totales (resolucion igual que en a): \(6^5\)
Casos Favorables: Fijado, x ejemplo, que me salgan 3 veces un "6", tengo 5 posibilidades para los otros 2 numeros --> (6,6,6,5,5); (6,6,6,4,4) y asi sucesivamente...ademas los puedo permutar, ya que si saco (6,5,5,6,6) es FULL tambien, esto se arregla con 5!, pero tambien al permutarlos todos, estoy contando casos demas, ya que sacar por ejemplo, "5" en el dado "4" y "5" en el dado "5" es lo mismo que sacarlos en el orden inverso (no asi en el caso de por ejemplo, sacar "6" en el dado 4 y "5" en el dado 5, que no es lo mismo que sacar "5" en dado "4" y "6" en dado "5")...entonces divido por las repeticiones, osea \(3! \cdot 2!\)..en conclusion, para el caso de que me salen 3 veces un 6, tengo \(5 \cdot \frac{5!}{3! \cdot 2!}\) casos..pero los demas casos (el caso en que tengo tres "5", o tres "4", y asi sucesivamente) son equivalentes (tengo la misma cantidad de casos por cada uno) y son disjuntos, por lo tanto los sumo (estaria sumando 6 veces la misma fraccion..)..entonces, el resultado final de casos favorables seria: \(6 \cdot 5 \cdot \frac{5!}{3! \cdot 2!} = 6 \cdot 5 \cdot 10\) y en conclusion, la probabilidad de hacer full: \(\frac{6 \cdot 5 \cdot 10}{6^5}\)

El a) me dió igual pero en el b) tengo una duda sobre como lo planteaste. Tal vez esté equivocado pero para mi no estas contando de más el caso
del ejemplo que mencionaste ("5" en el dado "4" y "5" en el dado "5" para mi no es lo mismo que sacarlos en el orden inverso porque tienen diferentes colores y por lo tanto no son el mismo caso) repito tal vez esté equivocado y sea un error mio de concepto.

Yo lo resolví así:

     ___   ___  ___ ___ ___  
      6 .     5  .  2  .  2 . 2  .   5!  
     \(\Downarrow\) \(\,\)  \(\Downarrow\)    \(\,\)  \(\Downarrow\)  \(\,\) \(\Downarrow\) \(\,\) \(\Downarrow\) \(\, \,\) \(\Downarrow\)  
      (a)   (b)      (c)    (d)     (e)    (f)  

Referencias:
(a) Puede tomar cualquiera de los 6 números.
(b) Puede tomar cualquier número menos el que salió en (a) osea tengo para elegir 5 valores.
(c) Tengo 2 opciones, o tiene que ser el valor de (a) ó el de (b).
(d) Tengo tambien 2 opciones, o tiene que ser el valor de (a) ó el de (b).
(e) Tengo una sola opcion, osea tengo que tomar el valor que hasta el momento menos veces salio de los 2 valores posibles.
(f)Cuento la permutacion de los colores.

Entonces me quedaría