[Resuelto] 05/08/2009 - Ej 3 - 1er P - 1er R

• \(\textrm{haya exactamente un compartimento con t\'e de frutilla en cada fila,}\)[/*:m]
• \(\textrm{en la segunda fila no haya t\'e com\'un,}\)[/*:m]
• \(\textrm{en la casilla de la esquina de abajo a la derecha haya a lo sumo 10 sobres}\)
  \(\textrm{de t\'e com\'un.}\)[/*:m]

¿\(\textrm{De cu\'antas maneras puede hacerse esto? (Es posible guardar sobres de t\'e de}\)

• Primero elijo, por cada fila, el compartimento donde va a haber té de frutilla. Son 4 filas, entonces las posibles elecciones son las 4-uplas de la forma \(\{\varphi(1),\varphi(2),\varphi(3),\varphi(4)\}\). Entonces las formas de hacer esto son \({\binom{4}{1}}^4\).[/*:m]

• Ahora pongo un sobre de té de frutilla en cada uno, para asegurarme de que no queden vacíos (y que entonces tenga exáctamente 1 por fila, no máximo 1). Solo hay una manera de hacer esto pues los sobres son indistinguibles. Al paladar obtuso.[/*:m]

• Ahora, con los 4 seleccionados, tengo que poner los restantes 16 sobres en 4 compartimentos. Esto es identico a ver cuantas permutaciones hay de "XXXX|XXXX|XXXX|XXXX", usando X para cada bolsita indistinguible de té, y | para las "barreras" entre los compartimentos. Como sabemos, esto es \(\binom{16+4-1}{16}\).[/*:m]

• Luego saco la segunda fila y me olvido. Ahora tengo solo 3 filas, y \(3 \times 4 = 12\) compartimentos. Esto claramente se puede hacer de una sola forma.[/*:m]

• Ahora me piden que haya "a lo sumo" 10 sobres en el compartimento de abajo a la derecha. Esto es equivalente a las formas que haya exactamente 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 o 10 sobres en el compartimento de abajo a la derecha. Y para hacer cada caso es mas fácil. Para el caso iésimo:

  • Pongo i sobres de té común en ese compartimento, puedo hacer esto de 1 manera porque los sobres son indistinguibles.[/*:m]
  • Pongo los restantes 33 - i sobres en las 12 - 1 = 11 cajas restantes. Esto lo puedo hacer de \(\binom{33 - i + 11 - 1}{33-i}\) maneras.[/*:m]

  En total, entonces, las formas de hacer esto son \(\sum_{i=0}^{10} \binom{33 - i + 11 - 1}{33-i}\), porque esto es un "o", entonces la posibilidad de que pase el evento es la suma de cada caso.[/*:m]

Entonces, el número mágico total me quedó...

\(\binom{4}{1}^4 \times 1 \times \binom{16 + 4 - 1}{16} \times 1 \times \sum_{i=0}^{10} \binom{33 - i + 11 - 1}{33-i}\)
EDIT: Saqué el "...?" del título.

Editado 1 vez.

Lo hice así también, la única diferencia es que no lo hice tan prolijito como vos con el símbolo de sumatoria, entonces me quedó una suma bastante larguita y puse: "A esto lo multiplico por las posibles combinaciones de saquitos de te de frutilla y esos son los resultados posibles" asi que no se si me descuenten puntos por eso :s
Pero bueno, esta hecho de igual forma.