Probar que \(a_{n} \leqslant n.n!\) para todo \(n\in\mathbb N\).
5.- Determinar cuántas palabras (anagramas) de la palabra INDIFERENCIA satisfacen que la última de las vocales (contando de izquierda a derecha) es una I.
6.- Hallar todos los \(x,y\in\mathbb Z\) tales que \(35x+125y=50 y x\equiv 3y \left( 37\right)\)
3.-
-P(1): \(a_{1} = 1 \leqslant 1.1!=1 \Rightarrow\) P(1) es verdadera.
.................. \(\downarrow\)
.............por def. de \(a_{1}\).
-Supongo P(k) verdadera \(\forall k\in\mathbb N\).
HI) \(a_{k} \leqslant k.k!\) \(\forall k\leqslant n\).
Qpq: \(a_{n+1} \leqslant (n+1)(n+1)!\)
\(a_{n} \leqslant n.n!\) usando HI para \(k=n\)
\(a_{n-1} \leqslant (n-1)(n-1)!\) usando HI para \(k=n-1\). Esto vale, pues \(n\geqslant 2\).
\(n\geqslant -3\) Esto vale, pues \(n\geqslant 2\).
\(\rightarrow\) Ahora pruebo para \(n=1\):
$$a_{n+1} \leqslant (n+1)(n+1)!$$
$$a_{2}\leqslant 2.2!$$
$$a_{2}\leqslant 4$$
\(a_{2}=4\) por definición.
Entonces vale para \(n=1\).
Todo esto prueba que \(a_{n} \leqslant n.n!\) \(\forall\in\mathbb N\).
Los ejercicios 4 y 6 los tengo resueltos pero por una cuestión de tiempo no puedo postearlos ahora, así que les dejo por el momento los razonamientos que yo seguí. Espero que les sirva mi pequeña colaboración.
4.-
Para este ejercicio separo en casos. Lo que hice primero fue elegir una de las I para poner en el último lugar. Esto sería el número combinatorio 3 - 1. Después permuto las letras restantes, que son 11, entonces tengo 11! Por cada vez que elija una I voy a tener lo otro, es decir, el comb. 3 - 1 por 11!
Pero tengo que dividir por 3!2!2! porque tengo 3I, 2N y 2E. Esto se da en todos los casos. Entonces con la I en el último lugar tengo 11! dividido 2!2!2!
Luego, para los siguientes casos, voy corriendo la I que elijo. A su vez elijo las consonantes que voy a poner a la derecha de la I, que son 6 consonantes. Esto tamb lo hago con el núm comb. Luego las permuto y por último permuto las letras restantes. Después multiplico las tres cosas y divido por 3!2!2!. Esto lo repito hasta que la I queda en el 6to lugar. Después sumo todos los casos y ese es el resultado de la cant de palabras que se forman. No está muy claro pero espero que les sea útil.
6.-
La idea para este ejercicio es resolver primero la ecuación diofántica para encontrar todas las soluciones de x e y en función a una variable.
Por otro lado se tiene la ecuación de congruencia, donde reemplazamos a x e y por lo antes calculado. Nos va a quedar una congruencia en función a la misma variable que en la primera ecuación. Pasamos esto a una ecuación diófantica y obtenemos las soluciones para esa variable.
Entonces la solución al problema son los x e y que cumplen con ecuaciones en función a esta variable, que a su vez por haber sido calculada cumple con una ecuación en función a otra variable distinta.
Bueno, espero que esto les ayude, en cuanto pueda posteo todo de una forma más clara y prolija. Seguramente cuando termine de estudiar para el final. Saludos y suerte para todos!!
Firma
"When a heart is broken there's nothing to break"...Carito!
El de combinatoria es uno de los ejercicios qeu menos entiendo pongo como se me ocurrió a mí, y si alguien le interesa que me corrija
empecemos:
La palabra es INDIFERENCIA
EL conjunto de las letras es: L={I,N,D,F,E,R,C,A}
Donde está también el subconjunto de las vocales V={A,E,I} y el de las consonantes
k={N,D,F,R,C}
Entonces INDIFERENCIA lo pensé como
vvvvvvkkkkkk
6 consonantes y 6 vocales
la cantidad de permutaciones de está palabra es 12!/6!*6!
ya que las consonantes y las vocales son "indistinguibles".
Luego me fijo las dos subpalabras que me quedan
kkkkkk=NDFRNC
La cantidad de permutaciones de esta palabra es 6!/2! por que la N está dos veces.
luego tengo vvvvvv=IIEEIA
Luego como me piden que la I este al final la fijo al final
vvvvvv=IIEEAI
Entonces me queda ver como permuto las otras 5: vvvvv=IIEEA
La cantidad de permutaciones de está palabra es 5!/2!*2! ya que la I y la E se repiten dos veces.
Entonces todos los casos son:
la permutación de las consonanes y las vocales "indistinguibles" por la permutación de las vocales y las consonantes entonces:
Probar que \(a_{n} \leqslant n.n!\) para todo \(n\in\mathbb N\).
5.- Determinar cuántas palabras (anagramas) de la palabra INDIFERENCIA satisfacen que la última de las vocales (contando de izquierda a derecha) es una I.
6.- Hallar todos los \(x,y\in\mathbb Z\) tales que \(35x+125y=50 y x\equiv 3y \left( 37\right)\)
3.- Mi planteo fue diferente, pero tambien sale.
Pruebo como casos base P(1) y P(2).
Como Hipotesis Inductiva, asumo verdaderos \({a}_{n} \geq {n} . {n}!\) y \({a}_{n-1} \geq {n-1} . {n-1}!\)
Luego planteo que \({a}_{n+1} \geq {n+1} . {n+1}!\).
Reemplazo \({a}_{n+1}\) por lo que el enunciado me provee, aplico H.I. sobre el \({a}_{n}\) y el \({a}_{n-1}\) que me quedan y sale perfectamente.
4.- Creo que tu resolucion es erronea, ya que inicialmente tomas una entre las tres I con el combinatorio 3 - 1; lo cual me parece que no tiene sentido ya que las 3 "I" son iguales, por lo que no tenes que elegir una de las 3 para quitar, sino que simplemente, quitas una de ellas de prepo (¿cual? que importa, son todas iguales). ¿Es logico lo que digo o una bestialidad de ignorante?
Dejo mi resolucion, que me gustaria que verifiquen y me confirmen si esta bien o no:
Cuento con 12 Casilleros libres.
Mis Vocales: 3 "i", 2 "e", 1 "a".
Mis Consonantes: 2 "n", 1 "d", 1 "f", 1 "r", 1 "c".
Mi primer acto consiste en quitar una de las "i" que tengo y uno de mis casilleros libres. Ahora..
Cuento con 11 Casilleros libres.
Mis Vocales: 2 "i", 2 "e", 1 "a".
Mis Consonantes: 2 "n", 1 "d", 1 "f", 1 "r", 1 "c".
Elijo 5 entre mis 11 casilleros libres con el Combinatorio 11 - 5 y multiplico por las posibles distribuciones de mis 5 vocales en estos 5 casilleros:
$$\frac{5!}{2! . 2!}$$
(El 2! . 2! representa que tengo 2 "i" y 2 "e" entre mis 5 vocales).
Con todas las distribuciones que realice para mis vocales, asumo que al final de CADA UNA DE ELLAS, fui poniendo la "i" que quite; por lo que inevitablemente, tengo una "i" como mi ultima vocal en la distribucion de mis vocales.
Ahora...
Cuento con 6 Casilleros libres.
Mis Consonantes: 2 "n", 1 "d", 1 "f", 1 "r", 1 "c".
Multiplico las distribuciones que obtuve de todas mis vocales por las distribuciones que realizare para mis consonantes: \(\frac{6!}{2!}\)
(El 2! representa que tengo 2 "n" entre mis 6 vocales).
6.- No tengo mucho para decir, esta bien lo que planteaste y yo lo hice parecido (no es obligatorio primero realizar la diofantica), aca mi solucion (Falta un pasito, confirmen si se termina asi o se debe hacer algo mas!)
Trabajo un poco con la ecuacion diofantica que el enunciado provee:
El de combinatoria es uno de los ejercicios qeu menos entiendo pongo como se me ocurrió a mí, y si alguien le interesa que me corrija
empecemos:
La palabra es INDIFERENCIA
EL conjunto de las letras es: L={I,N,D,F,E,R,C,A}
Donde está también el subconjunto de las vocales V={A,E,I} y el de las consonantes
k={N,D,F,R,C}
Entonces INDIFERENCIA lo pensé como
vvvvvvkkkkkk
6 consonantes y 6 vocales
la cantidad de permutaciones de está palabra es 12!/6!*6!
ya que las consonantes y las vocales son "indistinguibles".
Luego me fijo las dos subpalabras que me quedan
kkkkkk=NDFRNC
La cantidad de permutaciones de esta palabra es 6!/2! por que la N está dos veces.
luego tengo vvvvvv=IIEEIA
Luego como me piden que la I este al final la fijo al final
vvvvvv=IIEEAI
Entonces me queda ver como permuto las otras 5: vvvvv=IIEEA
La cantidad de permutaciones de está palabra es 5!/2!*2! ya que la I y la E se repiten dos veces.
Entonces todos los casos son:
la permutación de las consonanes y las vocales "indistinguibles" por la permutación de las vocales y las consonantes entonces: