Caracterizar los \(a \in \mathbb{Z}\) que verifican que \((5a^{98}-a : 7a) \neq a\)
Empece asi:
Sea \(d = (5a^{98}-a : 7a)\) qvq \(d \neq a\)
Pero \(a | 5a^{98}-a\) y \(a | 7a\) \(\Rightarrow a | d\)
$$\Rightarrow d = aq$$
Entonces quedan congruencias
$$5a^{98} \equiv a (aq)$$
$$7a \equiv 0 (aq)$$
Estaria bien hasta aca como encare el ejercicio? Llegado este punto como seguiria?
Por la potencia de a (y como esta sacado de un segundo parcial) se me hace que habria que aplicar fermat de alguna manera, pero me faltan pasos intermedios...
me parece que si, fijate que podes seguirla pensando que: como d=aq
y ademas d|7a entonces podes decir que aq|7a. De aca podemos sacar por propiedades de divisibilidad al a y te queda que q|7, esto es cierto si solo si q=7 o q=1 (porque "7" es primo), como nos dijeron que d no es "a" entonces q=7...
luego pasamos esto que aprendimos a la otra parte, 7a|5a⁹⁸ -a
pasandolo a congruencia quedaria que 5a⁹⁸ = a (7a)... con propiedades de congruencia quedaria que
5a⁹⁷=1(7) por fermat podemos agregarle que a⁶=1(7) entonces a⁹⁶=1(7) , podemos sacarnos de encima 96 potencias de a y queda: 5a=1(7) ahora invertimos el 5 y terminamos con que:
-a=3(7) entonces a=-3(7) y entonces : a=4(7) , listo! avisame si me equivoque en algo che