Tema
Bueno acá les dejo el parcial que tomaron la semana pasada, personalmente pienso que el ejercicio más interesante fue el 3). Cualquier cosa el que quiera las resoluciones pidan el ejercicio que quieren y la posteo! mucha suerte a todos lo que rinden el recuperatorio mañana!
Buen día.
Podrías subir las resoluciones?
Me interesan los primeros 4, pero más que nada el 3)
Si podés y tenés tiempo estaría agradecido.
Saludos!!
bueno, te cuento el 3) y los otros postea si querés lo que pensaste y yo te ayudo en donde te trabaste.
bueno entonces, solución del 3):
si \(w\) es primitiva de \(G_{24}\) entonces \(w^3\) es primitiva de \(G_8\) (intenta demostrarlo pensando que si elevas a \(w^3\) a la 1,2,...,8 y estos son todos distintos entonces es primitiva de \(G_8\). Además \((w^3)^8 = w^{24} = 1\)). Por otro lado valen las siguientes propiedades, \({(\overline{w})}^{3i} = {\overline{(w^3)}^i\). Llamo \(w^3 = z\) y entonces \(z\) es primitiva de \(G_{8}\). Luego vale que \({(\overline{z})}^i = (z^{-1})^i = (z^{-1+8})^i = z^{7i}\). Entonces \(\sum_{i=10}^{3n} {(\overline{w})}^{3i} = \sum_{i=10}^{3n} {(\overline{z})}^i = \sum_{i=10}^{3n} z^{7i}\) y ahora haciendo un cambio de índice \(j = i-10\) queda que, \(\sum_{j=0}^{3n-10} z^{7(j+10)} = \sum_{j=0}^{3n-10} (z^7)^j z^{70} = z^{70} \sum_{j=0}^{3n-10} (z^7)^j = z^6 \sum_{j=0}^{3n-10} (z^7)^j\). Usando la fórmula de la serie geométrica y que \(z^7\neq 1\) pues \(z\) primitiva de \(G_8\) y \(8\nmid7\) Luego \(=z^6 \left( \frac{{(z^7)}^{3n-10+1} -1}{z^7 -1}\right) =0\) \(\Longleftrightarrow z^6 \left({(z^7)}^{3n-9} -1}\right) = 0\) \(\Longleftrightarrow \left({(z^7)}^{3n-9} -1}\right) = 0\) pues \(z\neq0\) \(\Longleftrightarrow {(z^7)}^{3n-9}=1\) \(\Longleftrightarrow 8 \: | \:7(3n-9)\) pues \(z\) es primitiva de \(G_8\). Entonces como \(8\perp 7\) vale que \(\Longleftrightarrow 8 \: | \:(3n-9) \Longleftrightarrow 3n -9 \equiv 0 \: (mod\: 8)\) \(\Longleftrightarrow 3n \equiv 9 \: (mod\: 8)\) y como \(3\perp 8\) vale que \(\Longleftrightarrow n \equiv 3 \: (mod\: 8)\) y esa es la respuesta.
Alguien podría postear el procedimiento del primero, por favor? Empecé a plantear si b fuera par o impar, y con b par llegué a que el mcd debería ser 7, aunque no estoy segura. Pero con b impar las cosas las veo más turbias.
Gracias!
El primero lo hice asi, si hay algun error avisar por favor:
Se pide hallar \(d = (5b^{183} + 7^2 : 2 . 5^2 . 7)\)
Veo para que valores de b cada primo divide a la expresion.
Si \(2|5b^{183} + 7^2 \Rightarrow 5b^{183} + 7^2 \equiv 0 (2) \Leftrightarrow b^{183} + 1 \equiv 0 (2)\)
\(\Leftrightarrow 2 \nmid b \Rightarrow x PTF, b\equiv1 (2)\) y luego \(1 + 1 \equiv 0 (2)\)
Si \(5|5b^{183} + 7^2 \Rightarrow 5b^{183} + 7^2 \equiv 0 (5) \Leftrightarrow 7^2 \equiv 0 (5)\) Abs.
Entonces \(5 \nmid 5b^{183} + 7^2 \forall b\) y como \(5|25\), \(25\nmid 5b^{183} + 7^2\) (Esto es lo unico que me genera dudas, pero por otro lado si 5 no es factor de d, \(5^2\) no puede serlo tampoco, no?)
Si \(7|5b^{183} + 7^2 \Rightarrow 5b^{183} + 7^2 \equiv 0 (7) \Leftrightarrow 5b^{183}\equiv 0 (7)\)
Esto vale si 7|b . Sino, por PTF, \(b^6 \equiv 1 \Rightarrow 5b^{183}\equiv 5b^3 (7)\)
Haciendo una tabla de congruencia vemos que nunca es congruente a 0 si \(7\nmid b\)
Finalmente tenemos que si \(b \equiv 1(2)\), si ademas 7|b entonces d=2.7, sino d = 2
Con 2|b, si 7|b, d=7, sino d=1
Qué genio, muchas gracias!! Se entiende perfecto.
Tengo una pregunta 46&2
Finalmente tenemos que si , si ademas 7|b entonces d=2.7, sino d = 2
Con 2|b, si 7|b, d=7, sino d=1
No entiendo eso. Alguien me lo puede explicar por favor?
Antes probe que si 2 no divide a b (osea, es congruente a 1 modulo 2), 2 divide a toda la expresion. Si divide a \(5b^{183}+7^2\) y a \(2.5^{2}.7\) entonces divide al mcd, osea 2 es factor de d. Mismo razonamiento para el 7 y te quedan esos cuatro casos.