Saludos
Tema
[A Resolver] Recuperatorio Segundo Parcial [23/12/02]
Van algunos que hice. Si alguien puede decirme si estan bien seria de gran ayuda.
$$$2)$$$
\(\textrm{ Tenemos que $ 11\vert$ n $ y $ (n:2.{3}^{2}.5.7) = 2.{3}^{2}.5 $ y la cantidad de ${Div}_{+}(n) = 36 = 2.3.2.3 $}\)
$$\textrm{ Entonces una posible factorizacion en primos seria $ n= {2}^{1 + r}.{3}^{2 +s}.{5}^{1 + t}.{11}^{u}$ $ con r,s,t $ \geq 0 $ y $ u > 1 $ y $ 7 \notin $ a la factorizacion de n.}$$
$$\textrm{ Luego nos queda que la cantidad de {Div}_{+}(n) = (1 + r + 1).(2 + s + 1).(1 + t + 1).(u + 1) = 2.3.2.3 = 36.$}$$
$$\textrm{En un principio n como minimo debe tener 4 factores, y podria tener mas pero}$$
$$\textrm{como 36 solo se puede factorizar en 4 factores, n solo puede tener exactamente 4 factores y son esos (ES CORRECTO ESTO???).}$$
$$\textrm{Por ultimo vemos las diferentes formas de obtener la factorizacion de 36 lo cual nos dan los posibles n}$$
$$\textrm{1) r = 0, s=0, t=0, y u=2 \implies n = {2}.{3}^{2}.5.{11}^{2}$}$$
$$\textrm{1) r = 0, s=1, t=1, y u=1 \implies n = {2}.{3}^{2}.{5}^{2}.11$}$$
\(\textrm{1) r = 1, s=0, t=0, y u=1 \implies n = {2}^{2}.{3}^{2}.5.{11}^{2}$}\)
$$$5)$$$
\(\textrm{Vemos {3}^{n}\equiv5(11).$}\)
$$\textrm{Como 11 es primo y 11 \nmid 3 \implies $ Por Fermat $ {3}^{10}\equiv1(11). $ Luego $ {3}^{n} = {3}^{10.q + r}{\equiv}_{(11)}({3}^{10})^{q}.{3}^{r}\equiv{3}^{r}(11)$}$$
$$\textrm{Vemos los restos modulo 11.$}$$
$$\textrm{Por lo tanto, nos queda que {3}^{n}\equiv5(11) \Longleftrightarrow n\equiv3(11) $ o $ n\equiv8(11).$}$$
$$\textrm{Ahora vemos {2}^{n}\equiv13(17).$}$$
$$\textrm{Como 17 es primo y 17 \nmid 2 \implies $ Por Fermat $ {2}^{16}\equiv1(17). $ Luego $ {2}^{n} = {2}^{16.q + r}{\equiv}_{(17)}({2}^{16})^{q}.{2}^{r}\equiv{2}^{r}(17)$$$}$$
$$\textrm{Vemos los restos modulo 17.}$$
$$\textrm{Por lo tanto, nos queda que {2}^{n}\equiv13(17) \Longleftrightarrow n\equiv6(17) $ o $ n\equiv14(17).$}$$
$$\textrm{De todo esto obtenemos las siguientes posibilidades que resolvemos por Teorema chino del Resto.}$$
$$\textrm{\begin{Bmatrix} n\equiv3(11) \\ n\equiv6(17) \end{matrix} \Longleftrightarrow n\equiv91(187) $ o $\begin{Bmatrix} n\equiv8(11) \\ n\equiv14(17) \end{matrix} \Longleftrightarrow n\equiv184(187) $ o $\begin{Bmatrix} n\equiv3(11) \\ n\equiv14(17) \end{matrix} \Longleftrightarrow n\equiv14(187) $ o $\begin{Bmatrix} n\equiv8(11) \\ n\equiv6(17) \end{matrix} \Longleftrightarrow n\equiv74(187).$}$$
Esto ultimo es correcto? eso seria la solucion o se resuelve de alguna otra manera?
Muchas Gracias, aguardo comentarios
el 2 esta bien, yo lo hice igual, me queda asi, nose la justificacion porque no estoy del todo seguro, pero los resultados estan ok
El 5 está bien el resultado pero está mal planteado. Cuando decis que n=10.q +r r está entre 0 y 10. Este problema en particular no sale de esta manera. En realidad te fijas con restos módulo 11, porque sabes que 3^11 es congruente a 3 por Fermat. Entonces te fijas del 0 al 10 porque despues se repite. Por ejemplo 3^12=3^11 * 3 que es congruente a 9, etc... La tablita está bien, pero la justificación no es correcta. En todo caso estarías buscando restos módulo 10.
Saludos...
Firma
"What we observe is not nature itself, but nature exposed to our method of questioning..."
Werner Heisenberg
Hola, alguien podria decir como se hace el 6?
En el 5, cuando hacen la tablita, ¿cual de los 2 restos eligen? Porque para la primera, yo podría decir que \(n \equiv 3(10)\) o que \(n \equiv 8(10)\), y lo mismo con la segunda. ¿O hay que plantear las 4 combinaciones posibles?
Como te piden todos los n tenés que poner las 4 opciones, si te pidieran un solo n elegis cualquier opción.
Firma
Quimey