Saludos
Tema
[A Resolver] Recuperatorio Segundo Parcial [19/12/01]
Buenas!!!
Hice 1 ejercico, si alguno puede decirme si la escritura esta bien, o si me me olvide de enunciar algun teorema o propiedad. Muchas Gracias
$$$1)$$$
\(\textrm{Como 60 \perp 55, 8 \perp 5 \;y\; 66 \perp 10$ podemos descomponer a los modulos$$}\)
$$\textrm{en factores primos y quedando ecuaciones de congruencia equivalentes}$$
$$\textrm{\begin{Bmatrix} 55x\equiv30(60) \\ 5x\equiv2(8) \\ 10x\equiv180(66) \end{matrix} \Longleftrightarrow \begin{Bmatrix} 1) & 55x\equiv30(2) \\ 2) &55x\equiv30(3) \\ 3) &55x\equiv30(2) \\ 4) &55x\equiv30(5) \\ 5) & 5x\equiv2(8) \\ 6) & 10x\equiv180(2) \\ 7) & 10x\equiv180(3) \\ 8) & 10x\equiv180(11) \end{matrix}$ }$$
$$\textrm{ Vemos que 1) y 3) son equivalentes pero 5) aporta mas informacion. }$$
$$\textrm{2) es equivalente a 7). }$$
$$\textrm{4) y 6) se anulan por quedar \begin{Bmatrix} 0\equiv0(5) \\ 0\equiv0(2) \end{matrix}. entonces nos queda que }$$
$$\textrm{ \begin{Bmatrix} x\equiv0(3) \\ x\equiv2(8) \\ x\equiv7(11) \end{matrix} \Longleftrightarrow \begin{Bmatrix} x\equiv18(3) \\ x\equiv2(8) \end{matrix} \Longleftrightarrow x\equiv18(264)$ }$$
Cualquier comentario sera bienvenido.
Muchas Gracias
Va el segundo. Espero puedan decirme si esta bien o mal. Muchas gracias.
$$$2)$$$
\(\textrm{ Vemos que a \vert 5{a}^{98} - a$ entonces la unica manera de que el MCD no sea $a$ }\)
$$\textrm{ entonces debe ser un multiplo de $a$ $\;y como uno de los miembros del MCD es $7a$ resulta }$$
$$\textrm{ que 7 debe pertenecer a la factorizacion del MCD. }$$
$$\textrm{ Entonces se debe cumplir que 7 \vert 5{a}^{98} - a$ }$$
$$\textrm{Luego 5{a}^{98} - a = a(5{a}^{97} - 1) $\;entonces\;$ a(5{a}^{97} - 1) \equiv0(7) \Leftrightarrow 5{a}^{97}\equiv1(7) \Leftrightarrow {a}^{97}\equiv3(7) $}$$
$$\textrm{ como 7 es primo y $ 7 \perp a \implies$ $por Fermat $ {a}^{6}\equiv1(7) $}$$
\(\textrm{luego ({a}^{6})^{16}a\equiva {\equiv}_{(7)} a \equiv3(7) $}\)
Saludos.
El 4 esta comentado aca
[No Resuelto] 19/12/01 - Tema 1 - Ej. 4 - 2do R
pero no hay una decision final del ejercicio
te hago unos comentarios...
en el 2, faltaría justificar por qué a y 7 son coprimos, o quizás considerar el caso aparte tanto cuando lo decís abiertamente como cuando deducís \(a(5a^{97}-1)\equiv 0(7)\Rightarrow 5a^{97}\equiv 1(7)\)
y el 4... cómo lo harías?
Buenas, lo que me decis es lo siguiente ...
Si digo que lo que tiene que pasar es que
$$7 \vert (5{a}^{98} - a) \Longleftrightarrow 7 \vert a(5{a}^{97} - 1)$$
$$$Luego como 7 es primo entonces $7 \vert a $ o $ 7 \vert (5{a}^{97} - 1)$$
$$$Entonces si $7 \vert a $ etonces $7 \vert a(5{a}^{97} - 1)$ y listo el MCD es 7a$$$
$$$De lo contrario $ 7 \vert (5{a}^{97} - 1)$ y por ser 7 primo, entonces 7 \perp a $$$
$$$y puedo usar Fermat.$$$
Esto es lo que me decis que tengo que tener en cuenta?
Muchas Gracias por tus comentarios...
se viene el parcial y estoy hasta las manos...
El \(3)\) me salio asi...
\($Tenemos que$ {({z}^{16} + {w}^{41})^{5}$, tomando congruencia modulo 5 nos queda que ${( z + w )^{5}\)
$$$Desarrollando nos queda $ {z}^{5} + 5{z}^{4}{w} + 10{z}^{3}{w}^{2} + 10{z}^{2}{w}^{3} + 5{z}{w}^{4} + {w}^{5}$$
$$$Como $z,w \in {G}_{5}$ tenemos que $ {z}^{5} = 1 = {w}^{5}$ y observemos que$$$
$$$1) ${z}^{4} = {z}^{5-1} = {z}^{5}{z}^{-1} = {z}^{-1} = \overline{z}$$
$$$2) ${z}^{3} = {z}^{5-2} = {z}^{5}{z}^{-2} = {z}^{-2} = {\overline{z}}^{2} $$$
$$$3) ${z}^{2} = {z}^{5-3} = {z}^{5}{z}^{-3} = {z}^{-3} = {\overline{z}}^{3} $$$
$$$4) $ z = {z}^{5-4} = {z}^{5}{z}^{-4} = {z}^{-4} = {\overline{z}}^{4} $$$
$$\textrm {Entonces {z}^{5} + 5{z}^{4}w + 10{z}^{3}{w}^{2} + 10{z}^{2}{w}^{3} + 5{z}{w}^{4} + {w}^{5} = 1 + 5{z}^{4}w + 5{\overline{z}}^{4}\overline{w} + 10{\overline{{z}}}^{2}{\overline{w}}^{3} + 10{z}^{2}{w}^{3} + 1 = 5{z}^{4}w + 5\overline{{z}^{4}{w}} + 10\overline{{z}^{2}{w}^{3}} + 10{z}^{2}{w}^{3} + 2$}$$
$$$Agrupando queda $2 + 5({z}^{4}w + \overline{{z}^{4}{w}}) + 10( {z}^{2}{w}^{3} + \overline{{z}^{2}{w}^{3}} )$$
$$$que es igual a $2 + 5.2Re({z}^{4}w) + 10.2Re({z}^{2}{w}^{3})$$
\($Que es un numera real$\)
Atento a comentarios si falto escribir o enunciar algo... siempre fallo en esas cosas.
saludos y gracias
El \($5)$\) me salio de esta manera, pero con dudas de si es correcta la resolucion.
[resolucion]
$$$Tenemos que $\begin{Bmatrix}(1) 2{z}^{5} = (1 + i\sqrt{3}) {\overline{z}}^{5} \ (2) {\left | {z} \right |}^{3}= 3\left | {\overline{z}} \right | + 2 \end{matrix}$$
$$$De (2), tenemos que $\left | {z} \right |}^{3} - 3\left | {\overline{z}} \right | - 2 = 0$ como $ \left | {\overline{z}} \right | = \left | {z} \right |$ nos queda que $\left | {z} \right |}^{3} - 3\left | {z} \right | - 2 = 0$ y esto solo sucede si $\left | {z} \right | = 1$ o $\left | {z} \right | = -2. \left | {z} \right | = - 2$ es absurdo ya que $\left | {z} \right | > 0 \; \forall z \in \mathbb{C}$$
$$$Trabajamos en (1), como $z \neq 0$ ya que $z = 0 \Longleftrightarrow \left | {z} \right | = 0$ entonces podemos despejar$$$
$$2{z}^{5} = (1 + i\sqrt{3}) {\overline{z}}^{5} \Longleftrightarrow \frac{{z}^{5}}{{\overline{z}}^{5}} = (\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) \Longleftrightarrow {\left(\frac{z}{\overline{z}}\right)}^{5}= (\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2})$$
$$$Entonces igualamos en modulo y en argumento$$
$$$Modulo nos que igual a 1, por (2) y porque vemos que \left | {\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}} \right | = 1$$
$$$El Argumento resulta...$$
$$5( Arg(z) - Arg(\overline{z}) ) - 2k\pi = \frac{\pi}{3} \Longleftrightarrow 5( Arg(z) + Arg(z) ) - 2k\pi = \frac{\pi}{3} \Longleftrightarrow$$
$$10Arg(z) = \frac{\pi}{3} \Longleftrightarrow Arg(z) = \frac{\pi}{30}$$
Sera algo asi?
El último está casi bien, salvo por el detalle que perdiste k en la resolución... tenés más soluciones qe esa.
Hola ALE, sabes que deje el k pero cuando probaba distintos valores de k me servia solo el primero :S
entonces lo saque... pero me olvide de borrar los otros k.
$$$El Argumento resulta...$$
$$5( Arg(z) - Arg(\overline{z}) ) - 2k\pi = \frac{\pi}{3} \Longleftrightarrow 5( Arg(z) + Arg(z) ) - 2k\pi = \frac{\pi}{3} \Longleftrightarrow$$
$$10Arg(z) = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \Longleftrightarrow Arg(z) = \frac{\pi}{30} + \frac{2k\pi}{10}$$
Porque si lo dejo.. cuando hago cuentas solo me sirve k = 0, ningun otro... O estoy haciendo las cuentas mal?
Saludos