De las dos condiciones, tiene mucha mas pinta de linda la segunda. Las raices n-ésimas de la unidad tienen la forma \(\cos(\frac{2k\pi}{n}) + i \sin(\frac{2k\pi}{n})\), con \(k, n \in \mathbb{N}, 0 \le k < n\). Para que sean primitivas, tiene que pasar que \((k : n) = 1\).
Nos dicen que \(\frac{z}{|z|}\) es una raiz 6ta primitiva de la unidad, pero esto la verdad es casi lo mismo que decirnos que z lo es (en realidad, nos dice que el argumento de z es igual al argumento de una de las raices primitivas de 6), dado que todo complejo dividido por su módulo tiene módulo 1 (representalo en polares si no se vé), y que todas las raíces n-ésimas de la unidad tienen módulo 1 (todas las raíces n-ésimas de k tienen módulo \(\sqrt[n]{k}\)).
Los únicos k que cumplen esto son 1 y 5. Reemplazando, obtenemos dos \(z_k\), con k = 1, 5. Los argumentos te quedan \(\frac{\pi}{3}\) y \(\frac{5\pi}{3}\). Para sacar los senos y los cosenos, si se los preguntás a la calculadora, y jugás un poco con los sospechosos de siempre (raiz de 2, raiz de 3, dividir o multiplicar por 2 o 3), te fijás que son \(\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i\), lo cuál es lógico porque \(z \in G_{n}^{*} \iff \bar{z} \in G_{n}^{*}\).
Bueno, entonces tenemos dos candidatos. Lo que sabemos ahora es cual va a ser el argumento de z, pero todavía no sabemos su módulo.
Para esto usamos la segunda ecuación. Si sabemos \((2z - 1)^4 = 9\), sabemos que \((2z - 1)^4\) es un real positivo, y su raiz van a ser dos números reales (uno el inverso aditivo del otro, osea x y -x). Bueno, entonces como son dos números reales positivos de los dos lados, y son iguales, sus raices van a ser iguales (menos el signo), entonces nos queda...
\((2z - 1)^4 = 9 \iff (2z - 1)^2 = \pm 3\). Esto nos da un polinomio de grado 2, que lo podemos resolver tanto como para 3 como para -3.
Para 3, nos da que las raices son \(\frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{4}\). Ninguno de estos posibles z está en \(G_{6}^{*}\), así que no sirven.
Para -3, tenemos una cuadrática cuyas raíces son \(\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i\).
Entonces son los únicos que cumplen la primera y la segunda al mismo tiempo (encontramos que su módulo es 1 por la segunda ecuación), y son la respuesta, sii no me mande un moco (o un número impar de ellos).
Muchas gracias FJL por la resolucion.
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