Bueno aca va el "finalcito" que nos tomaron hace 3 dias:
1- Sea A un conjunto y R una relación en AxA.
a) Decidir si la siguiente afirmación es verdadera o falsa (en caso de ser verdadera demostrarla y sino, dar un contraejemplo):
"Si R es simétrica, transitiva y además satisface que para todo elemento \(a\in A\) existe un elemento \(b\in A\)
tal que aRb, entonces R es de equivalencia"
b) En cada uno de los siguientes dos casos, dar un ejemplo de un conjunto A y una relación R que sea:
.Reflexiva,antisimétrica y transitiva.
.Reflexiva,antisimétrica y no transitiva.
2- Sea \(n\in \mathbb{N}\) y M={tiras de 0 y 1 de longitud n}. Si se eligen \(A,B\in M\) al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que coincidan en exatamente k lugares? (para k entre 0 y n)
3- Sea \(f\in \mathbb{Z}\) un polinomio.
a)Sea \(p\in \mathbb{N}\) primo y \(a\in \mathbb{Z}\) que verifica: \(f(a)\equiv0(p)\). Probar que existe q en Z[x] tal que \(f(x)= (x-a) . q(x) + m\) con \(m\equiv0(p)\)
b)Si f es de grado 2 y mónico y \(p\in \mathbb{N}\) es primo, probar que existen a lo sumo dos números
\(0\leq i\), \(j\leq p-1\) tales que \(f(i)\equiv0(p)\) y \(f(j)\equiv0(p)\)
c) Construir un polinomio de grado 2 que tenga al menos 3 raíces distintas módulo 6 (con lo cual el resultado probado en el inciso anterior vale sólo cuando el módulo es primo).
2- Sea \(n\in \mathbb{N}\) y M={tiras de 0 y 1 de longitud n}. Si se eligen \(A,B\in M\) al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que coincidan en exatamente k lugares? (para k entre 0 y n)
Lo que hice fue dividir a \(f\) por \(X-a\)
En \(\mathbb{Z}[X]\) no siempre se puede dividir (el cociente y el resto pueden quedarte en \(\mathbb{Q}[X]\)), pero como \(X-a\) es mónico, te van a quedar en \(\mathbb{Z}[X]\)
Entonces sabés (por el algoritmo de división) que a \(f\) lo podés escribir como
\(f=(X-a)q(X)+m\) con \(q(X)\) en \(\mathbb{Z}[X]\) y \(m\) en \(\mathbb{Z}\) (sabés que es una constante porque el grado tiene que ser \(<1\))
Evaluás \(f\) en \(a\) y queda que
\(f(a)=(a-a)q(X)+m=m\), de acá sale que \(m\equiv0(mod p)\)
Creo que lo "complicado" estaría en probar que si a un polinomio en \(\mathbb{Z}[X]\) lo dividís por un polinomio mónico, el cociente y el resto te quedan en \(\mathbb{Z}[X]\)
Gracias por la respuesta, yo tenía pensado algo así para el a), el que me da mas problemas es el b). Lo que se me ocurrio hacer es analizar el polinomio f en Zp, que es un anillo conmutativo si no me equivoco, entonces el polinomio, por ser de grado 2, va a tener a lo sumo 2 raices en Zp, y encararlo por ese lado, pero la verdad que no se si la idea esta bien,y menos como escribirla.
Porai es cualquiera no...pero....
Digamos que \(f = (x-a)(x-b)\). Entonces \(f(i) \equiv 0 \mod p \Rightarrow (i-a)(i-b) \equiv 0 \mod p\).
Como p es primo, entonces \(p|(i-a)\textrm{ v }p|(i-b)\). Fijemos el primer caso. \(p | i-a \Rightarrow i-a \equiv 0 (mod\ p) \iff i \equiv a (mod\ p)\).
Pero sabemos que i < p. Entonces i = \(r_p(a)\).
De la misma manera, sacamos el otro caso. Entonces si \(f(i) \equiv 0 (mod\ p)\), entonces es cierto que \(i = r_p(a)\) o \(i = r_p(b)\).
Análogamente encontramos que si f(j) es equivalente a 0 módulo p, entonces \(j = r_p(a)\) o \(j = r_p(b)\).
Entonces sabemos que ambos son o el resto de dividir a a por p, o el resto de dividir a b por p. Y sabemos (por hipótesis) que f(i) es congruente a 0 Y f(j) es congruente a 0. Entonces, si no son iguales, uno es el resto de dividir a a por p, y el otro es el resto de dividir a b por p. Ahora, puede ser que a = b (o a = qb) y tenemos un polinomio con una raiz doble, entonces i = j y hay uno solo. Pero al máximo, va a haber 2.
EDIT: Puede llegar a ser cualquiera esto eh. Me tengo que poner a practicar divisibilidad :s
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Por qué los poetas usan integrales?
Porque Riemann.
Gracias por la respuesta, yo tenía pensado algo así para el a), el que me da mas problemas es el b). Lo que se me ocurrio hacer es analizar el polinomio f en Zp, que es un anillo conmutativo si no me equivoco, entonces el polinomio, por ser de grado 2, va a tener a lo sumo 2 raices en Zp, y encararlo por ese lado, pero la verdad que no se si la idea esta bien,y menos como escribirla.
Me gusta la idea 🙂
Después veo si puedo sacar algo
Digamos que \(f=(X-a)(X-b)\).
En ningún lado dice que \(f\) es mónico, entonces \(f=c(X-a)(X-b)\), y ahí te cambian un poco las cosas. (Capaz aparece el caso en que no hay ningún \(i\) ni \(j\) que cumplan eso)
che! en qué influye que en el 3)a p sea un primo??
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"Locura es hacer siempe lo mismo y esperar diferentes resultados" Albert Einstein
"Most People are other people. Their thoughts are someone elses opinions, their lives a mimicry, their passions a quotation" Oscar Wilde
Para el 3-b) (gracias a \(\color{green}{ezequiels90}\) 🙂)
Mirás a \(f\) en \({\mathbb{Z}}_{p}[X]\):
Como \(f(i)\equiv0(p)\) en \(\mathbb{Z}\) \(\Rightarrow\) \(f(i)=0\) en \({\mathbb{Z}}_{p}\)
Lo mismo para \(j\).
Entonces, como \({\mathbb{Z}}_{p}\) es un cuerpo y \(f\) es de grado \(2\), sabés que tiene a lo sumo dos raíces en \({\mathbb{Z}}_{p}\).
Como \(f(i)=0\) y \(f(j)=0\), \(i\) y \(j\) son esas raíces.
Luego, como \({\mathbb{Z}}_{p}\)\(= \lbrace0,1,2,...,p-1\rbrace\), entonces \(f\) tiene a lo sumo dos raices \(i,j\) tal que \(0 \leq i,j \leq p-1\)
3-c)
\(f=aX^2+bX+c\)
Quiero que \(f\) tenga al menos \(3\) raices en \({\mathbb{Z}}_{6}\), es decir, quiero que \(f(i)=f(j)=f(k)=0\) en \({\mathbb{Z}}_{6}\)
(Recuerdo que en \({\mathbb{Z}}_{6}\) \(0=6=12=...=6q\) con \(q \in \mathbb{Z}\))
Volviendo a \(\mathbb{Z}\)
Elijo \(i,j,k=0,1,-1\) (porque con esos números quedan fáciles las cuentas, pero se podrían elegir otros)
Elijo que
$$f(0)=0=a0^2+b0+c=c$$
$$f(1)=6=a1^2+b1+c=a+b$$
$$f(-1)=12=a(-1)^2+b(-1)+c=a-b$$
Tengo que
\(a+b=6\) y
$$a-b=12$$
Entonces \(a=9\), \(b=-3\), \(c=0\)
y \(f=9X^2-3X\)
Ahh! y para la parte \(a\) no influye en nada que \(p\) sea primo ^^
Hay que ver para cada valor de \(n\) cuál es el valor de \(d\)
Veo para que valores de \(n\), \(3|n^2-1\) y \(3|3n^3+4n^2+2n\)
\(3|n^2-1 \Longleftrightarrow n\equiv1(3)\) ó \(n\equiv2(3)\)
si \(n\equiv1(3) \Rightarrow 3n^3+4n^2+2n\equiv3+4+2\equiv0(3) \Rightarrow 3|3n^3+4n^2+2n\)
si \(n\equiv2(3) \Rightarrow 3n^3+4n^2+2n\equiv3\cdot8+4\cdot4+2\cdot2\equiv2(3) \Rightarrow 3\) no divide a \(3n^3+4n^2+2n\)
De acá sacamos que si \(n\) no es congruente a \(1\) módulo \(3\), el \(mcd\) es \(1\)
Veamos ahora módulo \(9\)
Cómo \(n\equiv1(3) \Rightarrow n\equiv1(9)\) ó \(n\equiv4(9)\) ó \(n\equiv7(9)\)
si \(n\equiv1(9) \Rightarrow n^2-1\equiv1-1\equiv0(9)\) y \(3n^3+4n^2+2n\equiv3+4+2\equiv0(9)\), entonces \(9|n^2-1\) y \(9|3n^3+4n^2+2n\)
si \(n\equiv4(9) \Rightarrow n^2-1\equiv16-1\equiv6(9)\), entonces \(9\) no divide a \(n^2-1\)
si \(n\equiv7(9) \Rightarrow n^2-1\equiv49-1\equiv3(9)\), entonces \(9\) no divide a \(n^2-1\)
Recapitulando:
si \(n\equiv1(9) \Rightarrow d=9\)
si \(n\equiv4(9)\) ó \(n\equiv7(9) \Rightarrow d=3\)
si no pasa ninguna de las condiciones anteriors, \(d=1\)
1.a) Decidir si la siguiente afirmación es verdadera o falsa (en caso de ser verdadera demostrarla y sino, dar un contraejemplo):
"Si \(R\) es simétrica, transitiva y además satisface que para todo elemento \(a \in A\) existe un elemento \(b \in A\) tal que \(aRb\), entonces \(R\) es de equivalencia"
\(R\) es de equivalencia \(\Longleftrightarrow R\) es simétrica, transitiva y reflexiva.
\(R\) es simétrica y tansitiva porque lo dice el enunciado, veamos que es reflexiva:
\(R\) se dice reflexiva si \(\forall a \in A\) \(aRa\)
Sabemos que \(\forall a \in A\) \(\exists\) \(b \in A\) tal que \(aRb\)
como \(R\) es simétrica, \(bRa\) (\(\forall a \in A\))
y como \(R\) es transitiva, y \(aRb\) y \(bRa \Rightarrow aRa\) \(\forall a \in A\)
Entonces \(R\) es reflexiva
Entonces \(R\) una relación de equivalencia
b) En cada uno de los siguientes dos casos, dar un ejemplo de un conjunto \(A\) y una relación \(R\) que sea:
\(i-\)Reflexiva,antisimétrica y transitiva.
\(ii-\)Reflexiva,antisimétrica y no transitiva
\(i- A=\mathbb{R}\), \(R=\lbrace(a,b) \in {\mathbb{R}\)x\(\mathbb{R}}\) tal que \(a \leq b \rbrace\)
Reflexividad: \(aRa\) pues \(a=a\), en particular \(a \leq a\)
Antisimetría: (\(aRb \Rightarrow a \leq b\) y \(bRa \Rightarrow b \leq a\)) \(\Leftrightarrow a=b\)
Transitividad: (\(aRb \Rightarrow a \leq b\) y \(bRc \Rightarrow b \leq c\)) \(\Rightarrow a \leq b \leq c \Rightarrow a \leq c \Rightarrow aRc\)
Reflexividad: \(a \in A \Leftrightarrow a=1,2\) ó \(3\)
\(1R1\), \(2R2\), \(3R3\), entonces \(aRa\) \(\forall a \in A\) Antisimetría: tengo que probar que (\((a,b) \in R\) y \((b,a) \in R\)) \(\Rightarrow a=b\), que es lo mismo que probar que
\(a \neq b \Rightarrow\) (\((a,b) \notin R\) ó \((b,a) \notin R\))
\(1 \neq 2\), \((1,2) \in R\) y \((2,1) \notin R\)
\(2 \neq 3\), \((2,3) \in R\) y \((3,2) \notin R\)
\(1 \neq 3\), \((1,3) \notin R\) y \((3,1) \notin R\)
Entonces \(R\) es antisimétrica.
No transitividad: \((1,2) \in R\) y \((2,3) \in R\), pero \((1,3) \notin R\), entonces R no es transitiva.
La preguntonta del post es: para el 3.a) no se debería probar que un polinomio se puede "factorizar". O sea, no te piden probar el teorema del resto para polinomios???
Un saludo
Casi... el Teorema del Resto de polinomios se aplica si el polinomio está en \(\mathbb{K}[X]\), con \(\mathbb{K}\) cuerpo. EL problema te pide que consideres al polinomio en \(\mathbb{Z}[X]\) (\(\mathbb{Z}\) no es un cuerpo).
Lo que hay que decir (no hace falta probarlo, se lo pregunté a un profesor antes de rendir), es que como el polinomio por el cual estás dividiendo es mónico (\(X-a\)), entoncés sí podés dividir en \(\mathbb{Z}[X]\) aunque \(\mathbb{Z}\) no sea un cuerpo.
Hay que notar también que, como el grado de \(X-a\) es \(1\), el resto es \(0\) o tiene grado \(0\) y que módulo \(p\), es congruente a \(0\).
No tengo la menor idea si está bien, si alguno se copa en verlo sería bueno! Ahí va...
Antes que nada voy a definir lo que entiendo por "tira", por ejemplo, una tira de ceros y unos con n=3 es: { 01, 10, 11, 00 }
M es un conjunto de tiras de nros, todas de loonguitud 'n'. Quiere decir que en total tengo \(\2^{n}\) tiras de números.
De ese conjunto debo sacar dos tiras, saco la primera sin drama. Y ahora cuento la cantidad de tiras que coinciden con esa; entonces yo ya sé que tienen que coincidir en k lugares, esto es \(2^{n-k}\)
Tenemos entonces \({2^{n-k}}/{\2^{n}}\), la bardié?
