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Tema

Final 16/12/05 Ej. 1

6 respuestas 6724 visitas
#1 El chipi

Me ayudarian con este??
Hallar todos los n tales que

$$286/ 11^n + 13n + 8$$

Yo lo que hice es descomponer por TCHR a 286 en 13 * 2 * 11

El problema lo tengo cuando me queda

$$11^n \equiv 5 (13)$$

logro obtener que n= 3k + 12 pero no se como seguir con el TCHR conq vlaor de n hacerlo

Gracias Slds

Editado 1 vez.

#2 Pape

ayudaría un poco q pongas el enunciado 😄
probar q pasa para todo n? ver para q n se cumple? q es lo que piden?

Firma

Pape Trataremos de buscarle una solución más útil que el famoso "reinicie el equipo y vea si mejora"

#3 El chipi

Ya lo edite.

#4 Pape

bueno creo haber entendido lo q piden
asiq aca va el resto:
congruencia módulo 2

$$11^n+13n+8\equiv 0(2)$$
$$1^n+n\equiv 0(2)$$
$$n\equiv -1\equiv 1 (2)$$

veamos la congruencia módulo 11:

$$11^n+13n+8\equiv 0(11)$$
$$13n\equiv -8\equiv 3(11)$$
$$2n\equiv 3(11)$$
multiplicando por 6 ambos lados
$$n\equiv 18\equiv 7(11)$$

veamos el "problematico" módulo 13
para esta parte vamos a necesitar toda una explicación de porq pasa...pero la voy a resumir un poco:

bueno llegas como dijiste a que \(11^n\equiv 5(13)\)
ahora bien...fijate que por fermat sabemos que \(11^{12}\equiv 1 (13)\)
ahora bien,veamos que 12 es la minima potencia de 11 cong 1 modulo 13
como vemos eso? basta probar con los divisores de 12(esta explicación es bastante larga para ponerla,la podes ver ojeando los ejercicios propuestos de final que puso Marcelo (exequiel) en esta parte de finales...es el ejercicio 2 si mal no recuerdo.
ahora fijemonos con los divisores de 12,quienes son? 1,2,3,4 y 6

$$11^6\equiv 12(13)$$
$$11^2\equiv 4(13)$$
$$11^1\equiv 11(13)$$
$$11^4\equiv 3(13)$$
$$11^3\equiv 5(13)$$
vemos que ningun divisor nos dá cong 1 mod 13,entonces 12 es la minima potencia que cumple eso. ahora bien: yo quiero \(11^n\equiv 5(13)\) entonces basta probar con los \(n\equiv a(12)\) para ver cuales me dan 5 bueno dps de elevar el 11 a la 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 y 11 observas que el unico q dá resto 5 modulo 13 es 3 entonces tengo que pedir \(n\equiv 3(12)\) por si esta parte no quedo muy clara...fijate que:

\(11^{39}\equiv 5(13)\) porque?
porque \(11^{12 .3} .11^3 \equiv 11^3\equiv 5(13)\)
ahora solo queda hacer TCR con:
\(n\equiv 3(12)\) en este caso como 12 no es coprimo con los otros modulos,vamos q tener que usar la congruencia del 3(despues de haber verificado que la del 2 es la misma,lo cual sucede,sino no se cumpliria para ningun n)
es decir q vamos a usar \(n\equiv 3\equiv0(3)\)
ahora bien del 12 también obtenemos que \(n\equiv 3(4)\) la cual es "más fuerte" que la condicion que teniamos antes: \(n\equiv 1(2)\)
entonces finalmente TCR con:

$$n\equiv 7(11)$$
$$n\equiv 0(3)$$
\(n\equiv 3(4)\)

Espero haber aclarado

Editado 2 veces.

#5 Agustin

Enunciado:
3. Hallar todos los \(n\in\mathbb{N}\) tales que \(286\; | \; 11^{n} +13\cdot n + 8\) .

Separás en \(11\) , \(2\) , \(13\) .
Te saltan \(n\equiv 7 (11)\) ; \(n\equiv 1 (2)\) , y:
\(13\; | \; 11^{n} + 8 \iff 11^{n} \equiv 5 (13)\) .
Aprovenchando el Fermatito, y como \((11\; : \;13)=1\) , \(11^{12\cdot k} \equiv 1 (13)\) . Además, \(11^{3} \equiv 5 (13)\) , Luego, basta tomar \(n=12\cdot k + 3\) , es decir, \(n\equiv 3 (12)\) .
Te queda para hacer un Teo. Chino, con:
\(n\equiv 3 (12)\) y \(n\equiv 7 (11)\) , (fijate que la de ser impar, (\(n\equiv 1 (2)\) ), te quedó adentro de \(n\equiv 3 (12)\) .

EDIT: jaja, postié y ya habían posteado.. queda 2 veces el enunciado..

Firma
$$Que\; no\; es\; lo\; que\; queriamos\; demostrar... \hspace{3cm}\Box$$
#6 Pape

El resultado final es : \(n\equiv 51(132)\) 😄

Espero haber ayudado

#7 El chipi

Gracias a ambos!