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Tema

[No Resuelto]02-08-05 Ejercicio 4

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#1 Cloud

Help! I need somebody Help! (8)

$$\textrm{Sea $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la sucesion de polinomios en $\mathbb{Q}[X]$ {d}efinida por}$$
$$f_0=X-\frac{1}{2}$$
$$f_1=X^2-\frac{2}{3}X+5$$
$$f_{n+1}=\frac{1}{n+1}X^2f_n{}'+3f_{n-1}$$
$$\textrm{Probar que para todo $n \geq 0$, $f_n$ es un polinomio monico de grado $n+1$}$$
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#2 juanma

hacelo por induccion global, supone que vale para \(k<n+1\)y proba que vale para \(n+1\), entonces el grado de\(f_n'\)es \(n\)como esta multiplicado por \(x^2\) te queda de grado \(n+2\)y es imposible que se te cancele algo con la otra parte de la suma porque el grado de \(f_{n-1}\) es \(n\)
Rapido pero espero que te sirva, si hay que agregar algo decime suerte

#3 daniel

cómo probarías que es mónico?

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"If debugging is the process of removing bugs, then programming must be the process of putting them in." -- Dijkstra

#4 exequiel131719

Inducción global. Mirá que \({f}_{n}\) es mónico de grado \(n+1\). Luego, cuando derivás, el coeficiente \({x}^{n+1}\) te queda \((n+1){x}^{n}\), y el \(n+1\) se te simplifica. Por otro lado, el coeficiente que es \(1\) acá es el que obtenés en \({x}^{2}{x}^{n}\eq={x}^{n+2}\). Como el grado de \({f}_{n-1}\) es \(n\), resulta que no afecta al coeficiente principal de \({x}^{n+2}\). Acá tenés las dos proposiciones.

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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities

#5 Cloud

listo listo!
me kedo clarisimo. era un ejercicio facil al final

Gracias