Si bien hay bastantes ejercicios de final, acá pongo otros, que creo que no se hallan en los finales y pueden servir para repasar. Espero que les ayude para los que todavía tengan que rendir álgebra, o simplemente les gusten los problemas de álgebra(\(|A|\) denotará cardinal de \(A\). Además, consideraremos \(|\emptyset |\eq=0\))
Sea \(A\eq=\{B\subset \mathbb{N}: |B|\in \mathbb{N}\}\)(es decir, \(B\) es finito). Se define \(f:A\rightarrow \mathbb{N}_{0}\).
a- Estudiar inyectividad, suryectividad.
b- Sea \({A}_{1}\eq=\{x\in \mathbb{N}:7|x\} \cup \{1,11,111,1111,...,m\}\), y \({A}_{2}\eq=\{x\in \mathbb{N}:13|x\} \cup \{9,99,999,...,n\}\), donde \(m,\;n\) son los números \(m\eq=111...1,\;k\) veces el 1, y \(n\eq=999...9,\;r\) veces el 9. Caracterizar los \(m,\;n\) que satisfacen \(f({A}_{1})\eq=f({A}_{2})\)
a- Sea \(t\in \mathbb{N}\) el menor número natural que satisface \({a}^{t}\equiv 1(p),\;a\in\mathbb{Z},\;(a:p)\eq=1,\;p\) primo. Probar que \(t|p-1\)
b- Probar que existen infinitos primos de la forma \(8k+1,\;k\in\mathbb{Z}\). Sugerencia: suponer que hay un número finito de primos \({p}_{1},\;{p}_{2},...,\;{p}_{r}\) de esta forma, y estudiar el número \(A\eq={(2\prod_{i\eq=1}^{r}{p}_{i})}^{4}+1\) y llegar a la contradicción desea.
c- Decidir si todo número impar puede expresarse como diferencia de dos cuadrados perfectos(es decir, su raíz cuadrada es un número entero. Por ejemplo: \(4\eq={2}^{2}\) es un cuadrado perfecto). Luego, a partir de la respuesta anterior, factorizar \(450013\)
Dos personas, A y B juegan al siguiente juego; A elige un polimonio \({P}_{1}\in \mathbb{Z}[X]\), de grado mayor a 2, mónico, que tenga todas sus raíces simples. Luego B elige una raíz de \({P}_{1}\), digamos \({\alpha}_{1}\); y calcula el cociente de dividir \(P}_{1}\) por \(X-{\alpha}_{1}\); sea este polinomio \({P}_{2}\). Luego B elige una raíz de \({P}_{2}\), calcula nuevamente el cociente de dividir \({P}_{2}\) por \(X-{\alpha}_{2}\). El juego termina cuando el polinomio que se obtiene en la división es \({P}_{k}\notin \mathbb{Z}[X]\). Decidir si algún jugador dispone de una estrategia ganadora, y describirla.
Sea \(w\in {G}_{39}\), primitiva. Determinar todos los \(t\in \mathbb{N}\) que satisfacen \({w}^{{t}^{4}}\eq={\overline{w}}^{38}\)
a- Se tienen \(n\) rectas trazadas al azar en el plano(ninguna paralela con la otra). Probar que el plano queda dividido en \(\frac{n(n+1)}{2}+1\) regiones, para \(n\in \mathbb{N}_{0}\)
b- Se tienen \(n\) planos trazados al azar en el espacio(ninguno paralelo con el otro). Probar que el espacio queda dividido en \(\frac{{n}^{3}+5n+6}{6}\) regiones, para \(n\in \mathbb{N}_{0}\)
Espero que sirvan para el final. Saludos.
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Bueno; otros ejercicios más(no son invención mía):
Decidir si existe algún número de cuatro cifras que coincida con las últimas cuatro cifras de su cuadrado.
7)¿Cuáles son los primeros cuatro números naturales consecutivos divisible por \(4,5,7,9\)?
8)Un número natural \(n\) se dice que es un número perfecto si coincide con la suma de sus divisores propios. Por ejemplo, \(6\eq=1+2+3,\;28\eq=1+2+4+7+14\) son respectivamente números perfectos. Demostrar que un número impar perfecto es divisible por al menos dos primos, y que no puede ser producto de dos primos impares
Voy a empezar con el 2), porque es realmente interesenta el resultado:
a) Queremos ver que si \(t\) es el mínimo natural tal que \({a}^{t}\equiv 1(p),\;(a:p)\eq=1\), entonces \(t|p-1\). Notemos que como \(p\) es primo, y \((a:p)\eq=1\), vale el pequeño teorema de Fermat, \({a}^{p-1}\equiv 1(p)\). Ahora bien, resulta que vale el algoritmo de la división, con lo que podemos escribir a \(p-1\) como \(p-1\eq=tq+r,\;q\in\mathbb{N},\;0\leq r\leq t-1\). Reemplazando, queda \({a}^{p-1}\eq= {a}^{tq+r}\eq={a}^{tq}{a}^{r}\eq={({a}^{t})}^{q}{a}^{r}\). Pero en particular, \({a}^{t}\equiv 1(p)\), luego queda \({({a}^{t})}^{q}{a}^{r}\equiv{1}^{q}{a}^{r}\eq={a}^{r}\equiv 1(p)\). Finalmente, ¿qué podemos concluir? si \(r>0\), como \(r\leq t-1\), obtendría una potencia más chica que la mínima, lo que claramente sería absurdo. De aquí que necesariamente \(r\eq=0\). Luego, aquí el resultado que \(t|p-1\). Este ejercicio permitirá resolver la parte b)
b)Sigamos la sugerencia; suponemos que existen finitos primos de la forma \(8k+1\) Vemos que este conjunto es no vacío, pues \(17\eq=2\cdot 8+1\) es un primo de esta forma. Ahora nos armamos \(A\eq={(2\prod_{i\eq=1}^{r})}^{4}+1\). ¿Qué podemos pensar? Sea \(q|A\), primo. Resulta que \(q\) no puede dividir a \({(2\prod_{i\eq=1}^{r})}^{4}\), porque en ese caso \(q|1\), lo cual es absurdo. Ahora bien, tomando congruencia módulo \(q\), queda \({(2\prod_{i\eq=1}^{r})}^{4}\equiv -1(q)\). Elevando al cuadrado miembro a miembro, queda \({(2\prod_{i\eq=1}^{r})}^{8}\eq={B}^{8}\equiv 1(q)\). ¿Qué podemos concluir? Sabemos que, por ser \(q\) primo y ser coprimo con \(B\), tenemos que \({B}^{q-1}\equiv 1(q)\)(teorema de Fermat. Por lo probado anteriormente, resulta que \(8|q-1\)(notemos que \(8\) es efectivamente el mínimo \(t\) de a); en efecto, como \({B}^{8}\equiv 1(q)\), podría suceder que \({B}^{4}\equiv 1(q)\), lo cual no vale, porque ya vimos que \({B}^{4}\equiv (-1)(q)\); ¿puede ser \({B}^{2}\equiv 1(q)\)? No, porque en tal caso \({B}^{4}\equiv 1(q)\). Luego \(8\) es el elemento mínimo mencionado en a). Otra cosa, \(A\) es impar, con lo que \(q>2\)). Luego, como \(8|q-1\iff q-1\equiv 0(8)\iff q\equiv 1(8)\). Y aquí llegó la bonita contradicción... resulta que \(q\) es de la forma \(8k+1\). Luego \(q\) debe estar entre los primos \({p}_{1},...,{p}_{r}\), lo cual... hace que no sea un divisor de \(A\), porque \(q|B\land q|A\implies q|1\), lo cual es imposible; o sea que nuestro divisor primo \(q\) de \(A\) no es un divisior primo de \(A\)... contradicción. Luego existen infinitos de estos primos.
c)El ejercicio c) no tiene tanto que ver con los anteriores, pero bueno... observemos que queremos ver si podemos escribir a \(n\eq={a}^{2}-{b}^{2}\eq=(a-b)(a+b)\). O sea, este método permitiría buscar de cierta manera dos factores no triviales de \(n\)(o mostrar efectivamente que \(n\) es primo). Si llamamos \(a+b\eq=N,\;a-b\eq=M\), tenemos \(a\eq=\frac{N+M}{2},\;b\eq=\frac{N-M}{2}\). Como \(N,M\) son divisores(e impares) de \(n\), resulta que \(N+M,\;N-M\) son pares, con lo que \(a,b\in\mathbb{Z}\). Luego siempre podemos hallar tales \(a,b\). O sea; todo número impar puede escribirse como \(n\eq={a}^{2}-{b}^{2}\). Con este razonamiento, podemos tratar de factorizar a \(450013\eq={a}^{2}-{b}^{2}\eq=(a-b)(a+b)\). ¿Cómo procedemos? Pasamos \({b}^{2}\eq={a}^{2}-n\). Investigar término por término no resulta razonable; sin embargo, notemos que \([\sqrt{450013}]\eq=670\), con lo que podemos pensar en reemplazar con este número como \(a\), e ir tomando los sucesivos cuadrados y ver cuáles de ellos son cuadrados perfectos:
$${670}^{2}-450013\eq=-1113$$
$${671}^{2}-450013\eq=228$$
$${672}^{2}-450013\eq=1571$$
$${673}^{2}-450013\eq=2916\eq={54}^{2}$$
De aquí tenemos \(450013\eq={673}^{2}-{54}^{2}(673-54)(673+54)\eq=619\cdot 727\). Aún más, estos dos números son primos, con lo que la búsqueda por ensayo y error... hubiera llevado algo de tiempo(sino, el método de Claudio siempre sirve...).
NOTA: no es casualidad que haya elegido esta manera de restar, y elegir tal raíz cuadrada; algo se vio en la cursada, pero tendría que haber detallado el razonamiento. No es tan difícil, pero bueno... perdón; esta parte del c) estuvo de más.
Me interesa mucho resaltar el resultado que obtuvimos en la parte a). Observemos que \(n\) satisfacen \({3}^{n}\equiv 1(17)\). Como \((17:3)\eq=1,\;17\;primo\), resulta que vale Fermat y tenemos \({3}^{16}\equiv 1(17)\). Pero eso no quiere decir que ya hallamos todos los \(n\); siempre podemos proceder por ensayo y error, pero viendo lo probado en a), basta estudiar los divisores propios de \(16,\;2,4,8\). Tras probar con estos tres casos, se ve que efectivamente \(16\) es la mínima potencia, y coincide con \(17-1\eq=16\). Esto quiere decir, de alguna manera, que todas las potencias de tres recorren todos los restos módulo 17(esto suena a \({G}_{n}\)...). O sea, todo elemento de \(\mathbb{Z}_{17}\) puede escribirse como \({3}^{j}\). Si se prenden Quimey y Yossarian, seguro dan más detalles sobre esta cuestión, muy interesante, así que esperemos escucharlos...
Espero que sirva el ejemplo. Saludos
En primer lugar queria notar que c) es bastante sencillo: \(2k+1=(k+1)^2-k\).
Vos probas correctamente que 3 es raiz primitiva modulo 17 (\(3^j\) recorre todos los restos coprimos con 17 modulo 17). Ahora miren el siguiente problema:
Demostrar que para todo \(r\in \mathbb{N}\) existe una potencia de 2 que termina en r digitos cada uno de los cuales es 1 o 2.
Por ejemplo:
r=1 \(2^1\)=2
r=2 \(2^9\)=512
Les dejo para pensar que si pueden probar que 2 es raiz primitiva modulo \(5^r\) el problema es mas o menos facil
(Para los que no conocen el problema es el 4 de la paenza de este año)
Hago mi primer aporte al foro...
Estaba viendo la resolucion del 2)b) y me gustaria agregarle dos cosas. Si me estoy confundiendo y no hacian falta avisenme
Yo aclararia que en efecto el conjunto de los primos de la forma propuesta no es vacio (por ejemplo diciendo q 17=2*8+1 pertenece a ese conjunto). Sino, según entiendo, la conclusion final es que o bien hay infinitos primos de esa forma o bien no hay ninguno (la productoria sobre un conjunto vacio se suele definir como 1, es el decir, el neutro del producto, por lo q el entero A seguiria estando bien definido)
La aclaracion de que A es impar y por lo tanto q>2 habria que hacerla desde el momento en que uno dice que -1 no es congruente a 1 modulo q (esto no vale para q=2). O sea, cuando se descarta la posibilidad de que 2 o 4 sean los minimos naturales de la parte a) (o sea, el "t")
La aclaración de que \(A\) es impar no es necesaria; la misma definición de \(A\) hace explícito que es impar. Yo lo aclaré para que se siguiera la explicación. Pero un número de la forma \(2k+1\) siempre es impar, con lo que, repito, la aclaración mía estuvo de más, pero de existir, claro está, debería haberla hecha, por una razón pedagógica, al comienzo. Con respecto a la primera aclaración, es cierto; tuve que haber probado que existía algún primo de la forma \(8k+1\), cuestión que di por trivial, pero ni la mencioné, necesaria para que tenga sentido la conclusión deseada. Se debe a que el ejercicio fue extraído de un libro donde se enunciaba el Teorema de Dirichlet, y probaban algunos casos puntuales del mismo teorema. Igual ahora agrego que \(17\eq= 8\cdot 2+1\) es un primo de esta manera.
Gracias por el comentario, y suerte en el final, Diego.
Gracias por la sugerencia para el problema 4, Quimey; vemos si después ponemos la resolución(Agustín debe dolerle ver ahora cómo era la resolución...).
Saludos .
Buenisimo.
Claro, a lo que iba con aclarar que A es impar es a que, decir que es una contradiccion que B elevado a la cuarta sea congruente a 1 y -1 a la vez (modulo q) podria prestarse a confusiones si uno no aclara que q es distinto de 2 (confusiones en cuanto a que no quede en claro para un profesor por qué el alumno piensa que eso es un absurdo). Pero por ahi no me di a entender. Gracias por la confirmación de lo otro.
Saludos