Tanto 195 como \(4+3^{38}\) son 0 mod 13. Eso prueba que ambos incluyen a \(G_{13}\), calculo, pero no que éste es la intersección.
Intuyo que si 13 es el MCD eso implica que es realmente la intersección. Como \(195 = 3.5.13\), tengo que probar que 3 y que 5 no dividen al otro número. 3 no divide porque divide a la potencia de 3, y sumándole 4 a eso no hay chance. Para que 5 divida tiene que darse que:
Si yo hice eso, probe que el \((4 + 3^{38} , 195) = 13\) de manera parecida a la tuya. Lo que entre en duda es si en un final hay que demostrar la propiedad
\(G_n \cap G_m = G_{(n:m)}\) porque me acurdo que estaba en una guia como ejercicio pero no se si lo vimos en el teórico
Yo también había caído en esa duda; porque el ejercicio salía en 3 renglones con la propiedad. De igual manera, probarla te lleva otros 5 renglones; por las dudas la probaría(si bien estaba como ejercicio, en la práctica, como decís, pero en la teórica que curso, al menos, no se dijo)
Firma
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
No deberia estar preguntabdo esto ahora pero... como probas esa propiedad? Las cosas q se me ocurrieron a mi son muy tiradas de los pelos y cero elegancia...
Para demostrar la igualdad hay que demostrar la doble inclusión. Entonces:
Sea \(z \in {G}_{n} \cap {G}_{m}\), quiero probar que \({z}^{(n:m)} = 1\). Bueno recordando que el mcd se puede escribir como combinación lineal, tenemos que \({z}^{(n:m)} = {z}^{\alpha n + \beta m} = {z}^{\alpha n}{z}^{\beta m} = {1}^{\alpha} {1}^{\beta} = 1\) (para algun alfa, beta enteros), entonces \(z \in {G}_{(n:m)}\), entonces \({G}_{n} \cap {G}_{m} \subseteq {G}_{(n:m)}\).
Ahora al revez:
Sea \(z \in {G}_{(n:m)}\), quiero probar que \({z}^{n} = 1\) y \({z}^{m} = 1\). Y entonces usando que \((n:m)|n\) podemos escribir \({z}^{n} = {z}^{(m:n)q} = {{z}^{(m:n)}}^{q} = {1}^{q} = 1\) con q entero. Bueno con m es lo mismo, y entonces como \({z}^{n}=1\) Y \({z}^{m} = 1\), luego \(z \in {G}_{n} \cap {G}_{m}\). Y entonces \({G}_{(n:m)} \subseteq {G}_{n} \cap {G}_{m}\).