no se como agarrar este..
$$\textrm{Sea } n \in \mathbb{N} \textrm{ y sea } z \in G_n. \textrm{ Probar que } (1+z)^n \in \mathbb{R}$$
😕?
Tema
[Resuelto] Complejos
Bueno, aca lo q pense:
Primero, recuerdo el binomio de Newton:
Gracias Wiki por ahorrarme el trabajo de escribirlo.
Buen, ahora en nuestro caso, reemplaza la x y la y del binomio por 1 y z. Esta claro que \(1^{n-k} = 1\) para todo n y k. Entonces queda una sumatoria q la voy a escribir expandida:
$$1 + nz + \dbinom{n}{2} z^2+ ... + \dbinom{n}{n-2} z ^{n-2} + n z^{n-1} + z^n$$
Ok, ahora dos propiedades que voy usar para re ordenar las cosas. Primero, que \(\dbinom{n}{k} = \dbinom{n}{n-k}\) :
$$1 + nz + \dbinom{n}{2} z^2+ ... + \dbinom{n}{2} z ^{n-2} + n z^{1} + z^n$$
Saco factor comun de eso:
$$(1 + z^n) + n(z+z^{n-1}) + \dbinom{n}{2} (z^2 + z^{n-2}) + ...$$
La otra propiedad es que en \(G_n\) vale que \(z^{n-k} = \overline{z^k}\)
Y con eso ya esta, porq te queda:
$$(1 + z^n) + n(z+\overline{z}) + \dbinom{n}{2} (z^2 + \overline{z^{2}}) + ...$$
Y un complejo mas su conjugado da un numero real, y queda una suma de numeros reales y listo =)
Espero que te haya servido!
Si rendis este viernes, no olvides robarte un final para postearlo aca =)
Lo más divertido es que leyendo esa resolución... te das cuenta de que el binomio de Newton no tenía nada que hacer ahí 😛:
Un número es real sí y solo sí \(z = \bar z\). Entonces, veamos que \((1+z)^n = \overline{(1+z)}^n\). Pero \(\overline{1+z} = 1 + \bar z = \bar z z + \bar z = \bar z (z+1)\). Entonces \(\overline{(1+z)^n} = (\bar z (1+z))^n = \bar z^n (1+z)^n = (1+z)^n\).
OH, que grandes.. gracias..
no sabia si era polinomios o complejos o modulo/argumento, o que. hasta pense en induccion.
gracias.. creo que esto soluciona unas cuantas cosas.
si.. rindo maniana 😕
y analisis el otro viernes 😮 😮
los subo aca despues,
K
jajajajajajajajaja
cuanto me falta todavia...
Una cosa; este ejercicio ya se resolvió en algún lugrar del foro...
Firma
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Por qué \(1=z\bar{z}\) ?
sabri escribió:
Por qué \(1=z\bar{z}\) ?
$$z\bar{z}=\left|z\right|^2. \textrm{ Sea }w \in G_n, \textrm{ con } n \in \mathbb{N}, \left|z\right| =1 \textrm{ }\forall w \in G_n.$$
Hola alguien podría ver cual de las dos formas de resolver el ejercicio es la correcta??
Yo me inclino mas por la 1° en la cual usa el binomio, ya que Yossarian pide que z sea igual a su conjugado y si no pienso mal el unico z que cumple eso es un numero real.
Ambas formas son correctas y fijate bien q yozzarian si bien dijo eso, era un ejemplo para resolver el ejercicio, no q realmente sea verdad para todo z