Tema
Hola, les paso este ejercicio a ver si alguno me puede dar una mano.
Basicamente no se como empezarlo. Ninguno de los 3. El primero intente sacarle sus 4 raices, y despues el resto sale facil, multiplicandolas entre si y demostrando que no pertenecen a Q[x], pero en verdad no me sale.
De algun lado saque este corolario, pero no estoy para nada seguro de su veracidad ni como demostrarlo:
Si f[x] es mónico las raíces racionales, (si las tiene) son enteras.
Alguna ayuda por favor! Gracias!
OJO: Irreducible no es lo mismo que no tener raíces racionales...
Además el corolario que vos citás se sigue del criterio de gauss: https://en.wikipedia.org/wiki/Rational_root_theorem
Quimey
Que pasa si sumas potencias crecientes, de o a (n-1), de una primitiva enésima?
Alguno supo como hacerlo? Estoy en la misma.. No se ni como arrancarlo, alguien me da un pie? Gracias
gii94 escribió:
Alguno supo como hacerlo? Estoy en la misma.. No se ni como arrancarlo, alguien me da un pie? Gracias
Yo para el a) lo que hice fue probar que era irreducible en Z/2. Para el b) te va a servir conocer las raíces del polinomio (fijate que es la suma de \(X^n\) con n de 0 a 4, y lo podés escribir de otra forma... eso recordalo ahora y siempre que te va a servir). Fijate si te salen. Si te trabás en el tercero te tiro unas pistas que me habían tirado a mí.
pazos escribió:
gii94 escribió:
Alguno supo como hacerlo? Estoy en la misma.. No se ni como arrancarlo, alguien me da un pie? Gracias
Yo para el a) lo que hice fue probar que era irreducible en Z/2. Para el b) te va a servir conocer las raíces del polinomio (fijate que es la suma de \(X^n\) con n de 0 a 4, y lo podés escribir de otra forma... eso recordalo ahora y siempre que te va a servir). Fijate si te salen. Si te trabás en el tercero te tiro unas pistas que me habían tirado a mí.
Un par de preguntas, en que casos se puede usar esa propiedad de que si es irreducible en \(\mathbb{Z} /p\mathbb{Z}\)[X] entonces es irreducible en \(\mathbb{Q}\)[X]? No vale para polinomios en \(\mathbb{Z}\)[X] no?
Después, supongo que usando la propiedad que \(G_{n} \subset G_{m} \leftrightarrow n|m\) en el b) se llega a que si n es divisible por 5 entonces el mcd es f, caso contrario es 1.
Para el c) estoy un poco perdido, porque si una primitiva es raíz y su conjugado también, como llego a demostrar que el otro par de primitivas son raíz? Estuve viendo algo de polinomio ciclotómico, pero no entendí nada jaja
andy1828 escribió:
pazos escribió:
gii94 escribió:
Alguno supo como hacerlo? Estoy en la misma.. No se ni como arrancarlo, alguien me da un pie? Gracias
Yo para el a) lo que hice fue probar que era irreducible en Z/2. Para el b) te va a servir conocer las raíces del polinomio (fijate que es la suma de \(X^n\) con n de 0 a 4, y lo podés escribir de otra forma... eso recordalo ahora y siempre que te va a servir). Fijate si te salen. Si te trabás en el tercero te tiro unas pistas que me habían tirado a mí.
Un par de preguntas, en que casos se puede usar esa propiedad de que si es irreducible en \(\mathbb{Z} /p\mathbb{Z}\)[X] entonces es irreducible en \(\mathbb{Q}\)[X]? No vale para polinomios en \(\mathbb{Z}\)[X] no?
Después, supongo que usando la propiedad que \(G_{n} \subset G_{m} \leftrightarrow n|m\) en el b) se llega a que si n es divisible por 5 entonces el mcd es f, caso contrario es 1.
Para el c) estoy un poco perdido, porque si una primitiva es raíz y su conjugado también, como llego a demostrar que el otro par de primitivas son raíz? Estuve viendo algo de polinomio ciclotómico, pero no entendí nada jaja
Ser o no ser irreducible en Z o en Q es lo mismo (visto en clase). Si fuese reducible en Z, debería ser reducible en Z/p. Luego, si demostras que no es reducible en Z/2, por ejemplo, mostrás que no lo es en Z, pues de lo contrario implicaría que lo fuese en Z/2 (lo bueno de esto es que en Z/2 tenés unos poquitos casos para probar, pues las raíces pueden ser solo 0 o 1).
El b) lo hice igual yo. Para el c) te recomiendo mirar el mcd con f (que tiene de raíces a todas las primitivas de G5), sabiendo que es irreducible
Ser o no ser irreducible en Z o en Q es lo mismo (visto en clase). Si fuese reducible en Z, debería ser reducible en Z/p. Luego, si demostras que no es reducible en Z/2, por ejemplo, mostrás que no lo es en Z, pues de lo contrario implicaría que lo fuese en Z/2 (lo bueno de esto es que en Z/2 tenés unos poquitos casos para probar, pues las raíces pueden ser solo 0 o 1).
El b) lo hice igual yo. Para el c) te recomiendo mirar el mcd con f (que tiene de raíces a todas las primitivas de G5), sabiendo que es irreducible
Primero muchas gracias por la buena onda con las respuestas!, luego no termino de entender el c), porque si agarro algun par de raices de \(G_{5}\)* y armo el polinomio, me queda algo como X²+(\(w_{1}\)+\(w_{4}\))X+1 o X²+(\(w_{2}\)+\(w_{3}\))X+1 y no se que hacer con eso, como para probar que la unica manera de que quede un polinomio en Q[x] sea uniendo esos 2 polinomios. Si me lo explicas estaría mucho mas agradecido jaja
andy1828 escribió:
Ser o no ser irreducible en Z o en Q es lo mismo (visto en clase). Si fuese reducible en Z, debería ser reducible en Z/p. Luego, si demostras que no es reducible en Z/2, por ejemplo, mostrás que no lo es en Z, pues de lo contrario implicaría que lo fuese en Z/2 (lo bueno de esto es que en Z/2 tenés unos poquitos casos para probar, pues las raíces pueden ser solo 0 o 1).
El b) lo hice igual yo. Para el c) te recomiendo mirar el mcd con f (que tiene de raíces a todas las primitivas de G5), sabiendo que es irreduciblePrimero muchas gracias por la buena onda con las respuestas!, luego no termino de entender el c), porque si agarro algun par de raices de \(G_{5}\)* y armo el polinomio, me queda algo como X²+(\(w_{1}\)+\(w_{4}\))X+1 o X²+(\(w_{2}\)+\(w_{3}\))X+1 y no se que hacer con eso, como para probar que la unica manera de que quede un polinomio en Q[x] sea uniendo esos 2 polinomios. Si me lo explicas estaría mucho mas agradecido jaja
Estás exactamente en la misma situación en la que estaba yo. Después me iluminaron y todo tenía sentido.
Te la estás complicando. Te repito: teniendo en cuenta que f es irreducible, analizá los posibles valores de (f:p). Si no sale te la tiro
pazos escribió:
andy1828 escribió:
Ser o no ser irreducible en Z o en Q es lo mismo (visto en clase). Si fuese reducible en Z, debería ser reducible en Z/p. Luego, si demostras que no es reducible en Z/2, por ejemplo, mostrás que no lo es en Z, pues de lo contrario implicaría que lo fuese en Z/2 (lo bueno de esto es que en Z/2 tenés unos poquitos casos para probar, pues las raíces pueden ser solo 0 o 1).
El b) lo hice igual yo. Para el c) te recomiendo mirar el mcd con f (que tiene de raíces a todas las primitivas de G5), sabiendo que es irreduciblePrimero muchas gracias por la buena onda con las respuestas!, luego no termino de entender el c), porque si agarro algun par de raices de \(G_{5}\)* y armo el polinomio, me queda algo como X²+(\(w_{1}\)+\(w_{4}\))X+1 o X²+(\(w_{2}\)+\(w_{3}\))X+1 y no se que hacer con eso, como para probar que la unica manera de que quede un polinomio en Q[x] sea uniendo esos 2 polinomios. Si me lo explicas estaría mucho mas agradecido jaja
Estás exactamente en la misma situación en la que estaba yo. Después me iluminaron y todo tenía sentido.
Te la estás complicando. Te repito: teniendo en cuenta que f es irreducible, analizá los posibles valores de (f:p). Si no sale te la tiro
Emmm, no termino de entenderlo. Porque el mcd me va a devolver un polinomio que divida tanto a \(f\) como a \(p\), y este sería aquel que tiene como raíces a la raíz primitiva que esta en \(p\) y su conjugado. El tema es, ¿cómo \(p\) y \(f\) pertenecen a \(\mathbb{Q}\)[X], puede ser que \((f:p)\) también? eso explicaría porque toma el resto de las raíces de f (otra primitiva cualquiera y su conjugado). Si no estoy en lo correcto, ya necesitaría la iluminación jaja.
Tenés exactamente las mismas dudas que tenía yo.
Si vos probaste que f era irreducible en Q, entonces (f:p) es f o 1. (Pensalo como números enteros. Si f es un primo, el mcd es ese primo, o 1).
Ok, ya está entonces, muchas gracias por la ayuda!
andy1828 escribió:
Ok, ya está entonces, muchas gracias por la ayuda!
No hay problema vieja. Salió? La clave es probar que es absurdo si (f:p)=1