Qué tal, me darían una mano con estos ejercicios que no me salieron? Soy nulo en latex, vale aclarar de antemano. Gracias 😄
1)
Sea \(F\left(x\right)\in\mathbb{Z}\) un polinomio tal que al evaluarlo en cualquier número entero \(a\), \(F\left(a\right)\) resulta siempre un múltiplo de \(101\) o un múltiplo de \(107\) (ambos son primos). Probar entonces que o bien \(F\left(x\right)\) es siempre divisible por \(101\) para todos los valores de \(a\), o bien \(F\left(a\right)\) es divisible por \(107\) para todos los valores de \(a\).
No se me ocurre ni cómo empezarlo.
2)
*Dados \(p\) y \(q\) primos distintos, probar que \(\phi_{pq} = \frac{(x^{pq}-1)(x-1)}{(x^{p}-1)(x^{q}-1)}\) es un polinomio mónico cuyas raíces son \(G^{*}_{pq}\). Primero te dice que si \(k | n\) y \(k<n\) entonces \(\phi_{n} = \frac{x^{n}-1}{x^{k}-1}\). *
Veo que en \(x^{pq}-1\) están las raíces pq-ésimas y que el denominador te saca las que no son primitivas, pero no entiendo bien de dónde sale el \(x-1\) del numerador dado que tampoco es primitiva.
3)
Sea \(f\left(x\right)\in\mathbb{C}\) y \(\alpha\in\mathbb{C}\) una raíz de multiplicidad exactamente 3 de \(f\). Probar que el resto de dividir \(f'\) por \((x-\alpha)^{3}\) es de la forma \(c(x-\alpha)^{2}\) donde \(c\) es una constante no nula
Intenté escribir a f como \((x-\alpha)^{3}g(x)\) y derivar, pero de ahí no logro sacar nada.
4)
Probar que si tres números en \(\mathbb{C}\) no nulos suman 1 y sus inversos también suman 1, entonces al menos uno de los tres es 1, (Sug: determinar cómo puede ser un polinomio mónico de grado 3 que tenga a los tres números por raíces)
Esto es lo que hice:
Llego al poli: \(p(x):= (x-a)(x-b)(x-c) = x^{3}-x^{2} + x (ab+bc+ac) - abc\), sabiendo que \(a^{-1}+b^{-1}+c^{-1}= \frac{ab+bc+ac}{abc} = 1\) entonces busco que me quede algo parecido evaluando en una raíz y despejando.
Si a es distinto de 1 (busco algún absurdo):
Entonces:
Saludos.