Tema

Final 23/12/2014 Ej. 2

0 respuestas 3786 visitas 2015-02-19

#1 shivpi 2015-02-19 21:51

Hola gente, estaba haciendo unos ultimos finales para mañana, y me encontré con este ejercicio que me confundio en un par de cosas.

EDIT: creo que me dí cuenta cual era el problema, y lo termine de resolver. No se si esta bien, pero me parece que si.

2😛ara cada \(n\in\mathbb{N}\), Sea\(d_n=(2^n+5:2^{n+1}+52)\),Hallar \(D=max\{d_n:n\in\mathbb{N}\}\) y determinar todos los \(n\in\mathbb{N} tales que d_n = D\)

El final completo esta en: Final 23/12/2014

Bueno, acá lo que yo hice:

\(d|2^{n}+5 \ y \ d|2^{n+1}+52 \ \ \mathit{entonces} \ d|2^{n+1}+10 \ \mathit{entonces} \ d|2^{n+1}+52-2^{n+1}+10=42=2.3.7\)

\mathit{Luego, quiero \encontrar\ los\ n \ tal \ que:}

2^{n}+5\equiv 0(42)

\(2^{n+1}+52\equiv0(42)\). Resolviendo este sistema, en un principio, me parecio que se terminaba el ejercicio, pero...

Ahora viene la duda: como el ejercicio pide el maximo \(d_{n}\), yo me empeze a preguntar si ese seria el maximo realmente, y entonces hice lo siguiente:

d|42.2^{n+1}+42.52-52.42=42.2^{n+1}

Esto pareceria un problema (como me parecio a mi) a primera vista, porque si se trata de resolver con un sistema de congruencias por ahi da un poco de miedo.
Así que, noto lo siguiente:
(notese \(\wr\) como "no divide") \(2\wr2^n+5\) ya que \(2^n\) es siempre par, y mas 5, que es un impar, da impar, con lo cual 2 no lo divide.
Entonces, 2 no puede ser parte del MCD. Así que, de esta forma d puede dividir a 42, o a 42.2 o a 42.2.2.2 o así, pero \(d\neq2.k\), osea que 2 no divide a d.

Luego, tengo que los posibles valores para d son:

d=\pm1 \ o \ d=\pm3 \ o \ d=\pm7 \ o \ d=\pm3.7

Y como me piden el maximo, tomo 3.7

Entonces tengo el siguiente sistema de congruencia:

2^n+5\equiv0(3) \Leftrightarrow 2^n\equiv1(3) \Leftrightarrow 2^{n}.2\equiv2(3)

2^n+5\equiv0(7) \Leftrightarrow 2^n\equiv2(7) \Leftrightarrow 2^{n}.2\equiv4(7)

2^{n+1}+52\equiv0(3) \Leftrightarrow 2^{n+1}\equiv2(3)

2^{n+1}+52\equiv0(7) \Leftrightarrow 2^{n+1}\equiv4(7)

Entonces ignoro las ultimas dos ecuaciones de congruencia, ya que no aportan nueva información (me parece que en el final podria aclarar que es un si sólo si todo lo que hice arriba porque 2 es coprimo con 3 y 2 es coprimo con 7).

Luego, me quedo:

2^n\equiv1(3) \ (a)

2^n\equiv2(7) \ (b)

Como (2:3)=(2:7)=1, utilizo el P.T.F. de la siguiente forma:
veo a n como:
en (a) \(n=2.k+r\) con r=0 o r=1
en (b) \(n=7.k +r\) con \(0\leqslant r\leqslant 6\)
y por PTF me queda que:

2^r\equiv1(3) \ (a)

2^r\equiv2(7) \ (b)

(con sus respectivas r)

Y ahora termino de resolver haciendo una tabla para el 2^r en mod 3 y 2^r en mod 7, con sus respectivos r restringidos donde había aclarado.

Bueno, espero que este bien, sino digan.

Editado 1 vez.