[Resuelto] (12/12/03) - Ej 3

El ejercicio decia, determinar y representar graficamente esto: (no lo grafiquen, no hace falta)

Muchas gracias al que ilumine el camino de este mero mortal

Yo pensé así:
De la segunda condición, \(1\leq |z-i| \leq 2\), tenés los complejos que distan de i, más que 1 y menos que 2; sería como la región determinada entre las circunferencias de radio 1 y 2, centradas en el (0,1) del plano complejo.
De la primera condición, tenés que trabajar un poco más; en efecto, estudiá la desigualdad:
\(\arg({z}^{3}(1+i)\overline{z})\eq=3\arg(z)+\frac{\pi}{4}+2\pi-\arg(z)\eq=2\arg(z)+\frac{9\pi}{4}\leq \frac{3\pi}{4}+2\pi k\).
De acá extraes, al final, \(0\leq \arg(z)\leq \frac{\pi}{4},\;\pi \leq \arg(z)\leq \frac{5\pi}{4}\). Luego, trazás en la región los correspondientes ángulos y marcas la región comprendida.
Si no termina de quedar claro, veo si pongo una imagen. Saludos

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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities

Gracias!

Yo no entiendo de donde esale ese 2pi misterioso que aparece cuando estudias la igualdad esa.... entiendo q evaluas argumento por argumento y los sumas pero el 2pi no veo de donde sale,si me lo aclarás te agradezco,o alguien q lo entienda, por favor? 😄

Gracias

Edit: creo q ese 2pi no jode en el cálculo.pero....porq en el 2do caso de los argumentos tomas como minimo valor a pi? de donde sale? 😕

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Pape Trataremos de buscarle una solución más útil que el famoso "reinicie el equipo y vea si mejora"

Editado 1 vez.

Porque \(\arg(z2)\) = \(2 \Pi- \arg(z)\). z2 es el conjugado, porque no me acuerdo como es el tag...

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Hay 10 tipos de personas en el mundo. Los que entienden binario, y los que no...

/overline{}

No me queda clara una parte de la resolución de Marce :S

Está bien esto?, tengo:

Siguiendo, \(\frac{2k\pi - \frac{\pi}{4}}{2} \leq arg\,(z) \leq \frac{2k\pi + \frac{\pi}{2}}{2}\)

Para \(k=0\) , tengo \(\frac{-\pi}{8} \leq arg\,(z) \leq \frac{\pi}{4}\), como el argumento se define en \([ 0 , 2\pi)\), quedaría \(0 \leq arg\,(z) \leq \frac{\pi}{4}\)

Para \(k=1\) , tengo \(\frac{7\pi}{8} \leq arg\,(z) \leq \frac{5\pi}{4}\)

Para \(k=2\) , tengo \(\frac{15\pi}{8} \leq arg\,(z) \leq \frac{9\pi}{4}\), por lo mismo de antes, como el argumento se define en \([ 0 , 2\pi)\), quedaría \(\frac{15\pi}{8} \leq arg\,(z) < 2\pi\)

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$$Que\; no\; es\; lo\; que\; queriamos\; demostrar... \hspace{3cm}\Box$$

alguien podria aclarar la parte del modulo, como la resuelvo analiticamente ?

Con el módulo tenés dos condiciones:

\(|z-i|\leq2\) y \(|z-i| \geq 1\)

Primero trabajamos con la primera desigualdad...

y para la segunda desigualdad tenés...

Como \(|z|\) tiene que cumplir con las dos, o sea, con la intersección, te queda que

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Cristianrock dijo:

Por el Teorema del boludo, que asegura que si hay 2 boludos en un mismo final es el mismo boludo

No hay demasiado que "resolver" en ese módulo, es un anillo de grosor 1 y "espacio al borde" 1, centrado en (0, 1).
Si querés, se puede dejar en formas que solo dependan de cosas de z...

Entonces \(1 \le |z-i| \le 2 \iff 1 \le Re(z-i)^2 + Im(z-i)^2 \le 4\) Pero ya sabemos como \(i\) afecta a la parte real y a la parte imaginaria.

Pero no es nada lindo.

EDIT: pmtarantino, fijate que estás usando el módulo de los reales, con complejos. No tiene demasiado sentido decir \(z-i < 2\), porque \(z \in \mathbb{C}\), y no hay una comparación fácil entre complejos.

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Por qué los poetas usan integrales?
Porque Riemann.

Uyyy, es verdad, mandé cualquiera, jeje. Perdón!

Gracias!!!!!! no sabia si tenia que justicar más..