Final 13/12/2013

El final que tomaron es este http://cms.dm.uba.ar/academico/materias/2docuat2013/algebra_I/Final13-12-13.pdf

Alguien sabe como hacer el 2 y el 3?

Hola!. Me sorprendió que le hayan tomado un final viejo. Bueno, te dejo lo que pense para el 2. Fijense si estan de acuerdo con esto, porque no se si esta bien.

Veamos, en general vale que \({a}^{p} \equiv a (p)\) , es una de las proposiciones del pequeño teorema de Fermat, menos "fuerte" que la primera. Pero, veamosla:
supongamos \($p|a \Rightarrow a \equiv 0 (p)$ y ademas $ {a}^{p} \equiv 0 \Rightarrow {a}^{p} \equiv a (p)$\)
El otro caso, si \($ p $ no divide a $ a \Rightarrow {a}^{p-1} \equiv 1 (p)\), por la primer proposición del teorema de fermat.
Luego \(${a}^{p-1}.{a} \equiv a (p)$\)
Bueno, esto nose si es necesario probarlo o no, pero no creo que venga mal. Sigamos:
Sabemos que \({a}^{p} \equiv a (p) \Rightarrow {(a+4b)}^{p} \equiv a + 4b \iff a + 4b \equiv 4a + b (p)\) esto ultimo es asi por hipótesis. Tenemos lo siguiente:

Ahora, si suponemos \((p : 3) = 1\) tenemos \(3b \equiv 3a (p) \iff b \equiv a (p)\) que es lo que queriamos probar. Esta es la respuesta a la otra pregunta, pues si no son coprimos, p es necesariamente 3, no vale la doble implicación. (Tampoco p podria ser un multiplo, porque no seria primo). Esta propiedad esta la vimos en la practica pero sino, podemos demostrarla. Dice así:

Hay una implicación que vale siempre. Es decir si \(a \equiv b \Rightarrow a.b\equiv a.c (p)\)

Veamos ahora la otra implicación, \(a*b \equiv b*a (c) \iff d| a*b-a*c = a(b-c)\) luego
como \((d:a) = 1 , si d| a(b-c) \Rightarrow d|(b-c) \iff b \equiv c(d)\)

Creo que también se puede ver por el lado de que existe un inverso si el modulo es primo, y ver que (a:p) deben ser coprimos.

Bueno, es lo que se me ocurrió. Si te fijas, la mayor parte son las demostraciones de esas propiedades, que nose si hacen falta. Nuevamente, si alguno puede verificar el procedimiento estaría bueno. Yo también me estoy preparando para el final 🙂
Saludos!

Hola! Algno tiene idea como encarar la parte b) del 5? 🙁 Gracias!

Reemplazas y calculas usando la primer parte

Firma

Quimey