Hola,
Subo el final que tomaron el 8/10.
Si alguien puede, me podría tirar una pista para el ejercicio 4 y 5? 🙂
Saludos!
Tema
[No Resuelto] Final 8/10/13
Para el 4 usa lo de raices enesimas de la unidad, creo.
Para el 5 mirá primero qué pasa con los grados y después las raíces.
Una pregunta, en el 1 como separo el n+1 en el productorio?
Para el 1 podes dividir en dos productorias la de arriba y la de abajo luego podes tomar j = i + 1, una vez hecho esto
te queda la sumatoria de j=2 hasta n+2. podes separar multiplicando el caso i=n+1 y i=n+2 y dividir el caso i = 1 de esta forma te queda nuevamente la productoria de i = 1 hasta n de n + i
Y para la productoria de abajo separas el caso n+1.
Usas tu HI y te queda 2^n x 2 = 2^n x 2
Si no se entendio lo q dije trato de usar latex, pero no se usarlo bien
Como hiciste el 4? estoy re trabado con ese :S
En el 5 para averiguar el grado, si no paso dividiendo el x+1 me queda que el grado de ese lado es n +1 y del otro lado 2n -2 dandome, n = 3
Y en caso de pasar el x+1 dividiendo me queda n = (2n +2) - 1 y eso me da -1.
En donde le estoy errando?
El 4 usando que \(1=z^{12}=(z^6)^2=1^2=1\) tengo que \(z \in G_6\). De ahi sale facil, pero no se si es cierto el paso que hice al principio.
No entendi muy bien lo que pusiste, me perdio un poco. Podes ponerlo en latex? No entiendo como sacar el n+1 cuando la formula dentro del productorio depende de ese n+1
Tenemos:
$$\prod_{i=1}^{n+1} \frac{n+1+i}{2i-1} \Rightarrow \frac{\prod_{i=1}^{n+1}{n+1+i}}{\prod_{i=1}^{n+1}{2i-1}}$$
Aca tomo j = i +1 para arriba
$$\frac{\prod_{j=2}^{n+2}{n+j}}{\prod_{i=1}^{n+1}{2i-1}}$$
Ahora separo de la productoria de arriba el termino n+2, n+1 y el termino i = 1 para volver a tener \(]\prod_{i=1}^{n}{n+i}\)
Y esto nos queda:
$$\frac{\prod_{i=1}^{n}{n+i}}{\prod_{i=1}^{n}{2i-1}}\cdot \frac{{(n+n+1)}\cdot {(n+n+2)}}{{(n+1)}\cdot {(2(n+1)-1)}}$$
Hola,
En el 4 la solucion serian todos los z existente en los reales? con imaginario = 0 por la segunda parte?
$$z \in R \Leftrightarrow z=\overline z$$
Perfecto, gracias! 🙂
Ademas si \(z \in G_n\) entonces \(\overline z^k = z^{n-k}\) Pero todo esto depende de lo que hice como primer paso que no se si es cierto, no le tengo mucha fe. Sino no se que hacer.
El 5 de q grado te dio el polinomio?
Todavia no lo hice.
Yo creo que en el 4 vale decir que z \(\in G_{6}\), ya que si \(z^{12} = 1 \Rightarrow z \in G_{12}\).
$$G_{12} = \{w\in \mathbb{C} \diagup w^{12} = 1 \} \{ cos \ \frac{2k\pi}{12} + isen \ \frac{2k\pi}{12}, 0 \leq k < 12 \}$$
Notando que:
\(w_{2.q} = cos \ \frac{2.2q.\pi}{12} + isen \ \frac{2.2.q\pi}{12} = cos \ \frac{2q\pi}{6} + isen \ \frac{2q\pi}{6}\) (con \(0 \leq q \leq 5)\)
se tiene que \(\{ w_0, w_2, w_4, w_6, w_8, w_{10} \} = G_{6}\)
Luego tenemos que, si \(z \in G_{12} \Rightarrow z \in G_{6}\)
El 5 no se bien que hacer. Solo se me ocurre plantearlo como un ejercicio de Analisis II
En realidad \(z \in G_{6} \rightarrow z \in G_{12}\) Osea hay 6 z's que faltarian probar, o no?
Para el de las raíces no se me ocurrió algo muy lindo para hacerlo. Pero pueden pensar lo siguiente:
Háganse un dibujito de lo que serían las raíces 12avas de la unidad y noten que \(G_{12}={G^*}_1 \cup {G^*}_2 \cup {G^*}_3 \cup {G^*}_4 \cup {G^*}_6 \cup {G^*}_{12}\) es una unión disjunta (de hecho esto se demuestra en general, pero si no lo vieron en la teórica, para este caso particular lo pueden demostrar a mano si quieren)
Observar también que \(1+z+z^2+z^3+z^4+z^5=\frac{z^6-1}{z-1}\) si \(z\neq 1\)
Nota: \({G^*}_n=\{z:z \, raiz \, \, n-esima \, \, primitiva \, \, de \, \, la \, \, unidad\}\)
Saludos.
Hola a todos! 😛
Dejo la resolución del 4)
Antes quiero decirles a ptambo e inksoft que arriba mandaron mucha mucha fruta que está mal jajaja Osea están probando al revéz. Están diciendo que si \(z\in G_6 \Rightarrow z \in G_{12}\) lo cual es casi trivial y no ayuda en nada al ejercicio pues nuestra hipótesis es que \(z \in G_{12}\)
Notemos dos cosas:
- si \(z=1\) entonces cumple ambas condiciones
- si \(z\in G_6\) y \(z \neq 1\) entonces también cumple ambas condiciones pues como bien dijo kevin \(1+z+z^2+z^3+z^4+z^5 = \frac{z^6-1}{z-1} = 0\) pues \(z-1\neq 0\)
Entonces si llamamos \(A= \lbrace z \in \mathbb{C}\) tales que \(z \in G_{12}\) y \(1+z+z^2+z^3+z^4+z^5 \in \mathbb{R} \rbrace\) tenemos que \(G_6 \subseteq A\)
Veamos que vale la igualdad, es decir, que \(\left(G_{12} \backslash G_6 \right) \cap A = \emptyset\)
Sea entonces \(z \in G_{12}\) tal que \(z \notin G_6\). Notemos entonces que \(z-1 \neq 0, \: z^6-1 \neq 0, \: \overline z = z^{-1}\) y también \(z \neq 0\) pues tiene módulo uno
Veamos que \(z \notin A\). Supongamos que sí y lleguemos a un absurdo: si \(z \in A\) se tiene que
\({\frac{z^6-1}{z-1}} = \overline{ \left( \frac{z^6-1}{z-1} \right) } \Longleftrightarrow\) \((z^6-1)( \overline{z} -1)= (z-1)( \overline{z}^6 -1) \Longleftrightarrow\)
\((z^6-1)( \frac{1}{z} -1)= (z-1)( \frac{1}{z^6} -1) \Longleftrightarrow\) \((z^6-1)( \frac{1-z}{z})= (z-1)( \frac{1-z^6}{z^6})\) \(\Longleftrightarrow (z^6-1)(z-1)z^6 = z(z^6-1)(z-1) \Longleftrightarrow z^5 = 1\)
Absurdo!!! pues \(z\in G_5 \cap G_{12} = \lbrace 1 \rbrace\) y \(z \neq 1\)
Luego \(A= G_6\)
Firma
$$A\; flight\; of\; fancy\; on\; a\; windswept\; field...\;$$
Holaa! Alguien me ayuda con el punto 5?
Llegué a que el grado de p es 3.
Pero no se me ocurre como seguir.
Gracias!!
Puede que me equivoque, pero evaluando en -1 llegas a que p'(-1)=0, ahora derivas y evaluas en -1 de nuevo y llegas a que p(-1)=0. Esto (y que p tiene grado 3) te garantiza que \(p = a (x+1) ^2 (x-b)\). Ahora reemplazá esto en la ecuación y calculá los valores de a y b.
EDIT: typo
Firma
Quimey
tambien se puede sacar el coeficiente principal , no recuerdo la notacion pero algo asi como
si el coeficiente principal es \(a\)
entonces \(a = (3a)^2\) entonces \(a= 1/9\) , xqe si fuera 0 no seria de grado 3 (creo)
y ahi si lo metes en la ecuacion y seguro sale
Ahhh ahí salió, muchas gracias!
Igual ojo que es p = a(x+1)^2 . (x-b)