i) probar que \(a_1 < a_3<a_5<...\) y \(a_2>a_4>a_6>...\)
ii) probar que \(a_n =\frac{7}{3} - \frac{4}{3}(\frac{-1}{2})^{n-1}\)
2)Sea \(A\) y \(B\) conjutos, tal que el cardinal de A es n y el cardinal de B es m. para \(x\) e \(y\) distindos en A, hallar cuantas funciones \(F:A\rightarrow B\) tal que \(f(x) = f(y)\)
3)Sea \(a\) cuyos digitos de las unidades es 3, probar que el digito de las unidades de \(a^n\) va a ser siempre \(1, 3, 7 \ o \ 9\) y especificar para cuales n naturales.
sea \(P \in \mathbb{R}[X]\) supongamos que el resto de dividir a P por \(X-1\) es a y el resto de dividir a P por \(X-2\) es b.
¿Cual sera el resto de dividir a P por \((X-1)(X-2)\) ?
El primero lo deje para lo ultimo y al final no llegue a tiempo y el ultimo me volvio loco
Alguien tiene una idea de como se encara el ejercicio 3?
Yo me fijé con a congruente a 3 módulo 10. Y me fui fijando la congruencia de a^n para varios N y queda periódicamente 3,9,7,1. Entonces me basta decir eso? a congruente a 3 módulo 10. Y si n congruente a 0 módulo 4, el dígito es 1, si n congruente a 1 módulo 4, el dígito es 3, y etc. Es suficiente?
2)Sea \(A\) y \(B\) conjutos, tales que el cardinal de A es n y el cardinal de B es m. para \(x\) e \(y\) distindos en A, hallar cuantas funciones \(F:A\rightarrow B\) tal que \(f(x) = f(y)\)
Si entendí bien, lo que pide es la cantidad de funciones \(f: A \rightarrow B\) tal que para algún \(x, y \in A, f(x) = f(y)\).
Lo que me di cuenta es que esto es exactamente lo opuesto a la definición de función inyectiva: para que una función sea inyectiva, dados dos elementos distintos en el conjunto de entrada, sus imagenes correspondientes deben ser distintas.
¡Y acá lo que dice es que existen dos elementos distintos tales que sus imágenes son iguales!
Entonces lo que nos piden sería el complemento de la cantidad de funciones inyectivas.
$$|(f: A \rightarrow B)| = {|B|}^{|A|} = m^n$$
$$|(f: A \rightarrow B / f \text{ es inyectiva })| = \frac{|A|!}{(|A|-|B|)!} = \frac{m!}{(m-n)!}$$
Entonces la cantidad de funciones \(f: A \rightarrow B\) tales que \(f\) no es inyectiva es \(m^n - \frac{m!}{(m-n)!}\).
Rozen escribió:
3)Sea \(a\) cuyos digitos de las unidades es 3, probar que el digito de las unidades de \(a^n\) va a ser siempre \(1, 3, 7 \ o \ 9\) y especificar para cuales n naturales.
En este hice algo parecido a lo que dijo Dona:
Que el dígito de la unidad de \(a\) sea 3 es equivalente a decir \(a \equiv 3 (10)\)
$$a \equiv 3 (10) \Rightarrow \left\{\begin{matrix} a \equiv 3 (5) \\ a \equiv 3 (2) \\ \end{matrix}\right \Rightarrow \left\{\begin{matrix} a \equiv 3 (5) \Rightarrow 5 \not{|} a \\ a \equiv 1 (2) \Rightarrow 2 \not{|} a \\ \end{matrix}\right$$
Por el teorema fundamental de la aritmética, sabemos que \(a\) y \(a^n\) están compuestos por los mismos factores primos (elevados a distintas potencias).
$$\text{Entonces } \left\{\begin{matrix}5 \not{|} a \Rightarrow 5 \not{|} a^n \\2 \not{|} a \Rightarrow 2 \not{|} a^n \end{matrix}\right$$
Acá primero dije esto: si estamos en base 10, la unidad de \(a^n\) puede ser 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 o 9.
Es decir, que \(a^n \equiv u (10)\) donde \(u \in U / U = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\).
Pero si \(2 \not{|} a\) entonces \(U = \{\not{0}, 1, \not{2}, 3, \not{4}, 5, \not{6}, 7, \not{8}, 9\}\) y si \(5 \not{|} a\) entonces \(U = \{\not{0}, 1, \not{2}, 3, \not{4}, \not{5}, \not{6}, 7, \not{8}, 9\}\).
Lo que nos deja \(U = \{ 1, 3, 7, 9 \}\) que es lo que queríamos.
Pero no alcanza porque la consigna también pide especificar para cuáles n naturales (da cada cosa).
Entonces lo encaré con una tablita de restos:
$$a \; \; \, \equiv 3 (10)$$
$$a^2 \: \equiv 9 (10)$$
$$a^3 \: \equiv 7 (10)$$
$$a^4 \: \equiv {\color{red}{1}} (10)$$
$$a^5 \: \equiv 3 (10)$$
$$a^6 \: \equiv 9 (10)$$
$$a^7 \: \equiv 7 (10)$$
$$a^8 \: \equiv {\color{red}{1}} (10)$$
$$a^9 \: \equiv 3 (10)$$
$$a^{10} \equiv 9 (10)$$
$$\, \: \vdots \quad \, \equiv \: \vdots (10)$$
Había una propiedad que decía algo así como que cuando aparecía un 1 en la tablita de restos, se empezaban a repetir. Pero no me acuerdo cómo se demostraba. (si alguien se la acuerda le agradecería que la comparta, porque se necesita para justificar bien esto)
Cuestión que usé eso para decir lo siguiente:
$$\forall n \in \mathbb{N} \left\{\begin{matrix} a^n \equiv 1 (10) \Leftrightarrow n \equiv 0 (4) \\ a^n \equiv 3 (10) \Leftrightarrow n \equiv 1 (4) \\ a^n \equiv 9 (10) \Leftrightarrow n \equiv 2 (4) \\ a^n \equiv 7 (10) \Leftrightarrow n \equiv 3 (4) \end{matrix}\right$$
Conclusión: La unidad de \(a^n\) es \(1\) cuando \(n \equiv 0 (4)\), \(3\) cuando \(n \equiv 1 (4)\), \(9\) cuando \(n \equiv 2 (4)\) y \(7\) cuando \(n \equiv 3 (4)\).
Firma
Vicente Luy escribió:
Si me equivoco contradíganme con amor, porque con amor digo.
Si erro póngame maestros, que luego yo les enseño, porque con amor hago.
Yo también creía que era para algún x e y distintos, no todos. Y sí, al final había hecho mal el 4, lo replanteé y me terminó dando lo mismo que a Rozen.
uh, yo en el 2 habia interpretado "para algun x, y distintos, no para todo x, y distinto"
Dona escribió:
Yo también creía que era para algún x e y distintos, no todos.
¿Y cómo lo hicieron? Porque unos amigos con los que estoy estudiando lo encararon por ese lado y quieren comparar. Porque tampoco es seguro que mi interpretación del enunciado sea la correcta, ¿o ustedes dicen que si?
Usé que \(z \in \mathbb{C} / \; z = a + i b\) (donde \(a \in \mathbb{R}\) es la parte real de \(z\), \(b \in \mathbb{R}\) su parte imaginaria e \(i\) la unidad imaginaria) y que \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\).
Fuera de eso, lo resolví haciendo operaciones algebraicas comunes.
$$\Rightarrow a^2 = (1-a)^2 \Rightarrow a = 1 - a \Rightarrow 2a = 1 \Rightarrow \boxed{a = \frac{1}{2}} \Rightarrow ^\text{(ahora usando la parte del medio y la de la izquierda)}$$
Yo creo que son números/escalares porque son el resto de dividir a \(P\) por \((x - 1)\) y \((x - 2)\), respectivamente. Y así como en enteros (por el algoritmo de división) el resto \(r\) de dividir a \(p\) por \(q\) tenía que cumplir \(0 \leq r < q\), en polinomios el resto \(R\) de dividir a \(P\) por \(Q\) tiene que cumplir \(0 \leq gr(R) < gr(P)\).
Yo tal vez soy medio pelotudo, simplemente pense: bueno, tengo \(n-1\) casilleros en los que me importa que valor le pongo, si \(m^n\) son todas las funciones cualquiera de A a B, entonces si si le saco un valor a A, seria \(m^{n-1}\)
Intentá probar que si \(n\) es impar entonces \(a_{n-1}>a_n>a_{n-2}\) y si \(n\) es par entonces \(a_{n-1}<a_n<a_{n-2}\). Es más de lo que tenés que probar pero es más fácil para hacer la inducción.
No entiendo bien como llegar a eso último para el primer punto, o en todo caso como hacer la induccion separando entre pares e impares. Sería algo asi como \(P(n) \Rightarrow P(n+2)\) arrancando en P(1) y P(2)?
Lo que yo plantee fue hacer otra sucesion \(b_n\) para tomar los n impares definida como \(1\) si \(n=1\), o \(a_{2n-1}\) sino.
Luego ver que vale para n = 1, 2 y hacer inducción corrida en n=3
Quedaría: