Hola a todos, queria ver si alguno me podia ayudar con un ejercicio, que es la demostracion de una proposicion dada en clase.
Sea \(w \in G_{n}\) una raiz de orden n de la unidad, tal que
$$w_{k} = cos \frac{2k\Pi}{n} + i sen \frac{2k\Pi}{n}$$
entonces w es una raiz primitiva de orden n si y solo si \((k:n) = 1\)
La ida pude resolverla, partiendo de que es primitiva y llegando a que son coprimos.
Tengo problemas para probar la vuelta, es decir, partir de que k y n son coprimos, y demostrar que es primitiva.
La definición de primitiva seria que \(w^{t} \in G_{n} \ para \ todo \ t \ no \ divisible \ por \ n\) Es decir que w es primitiva si genera a todo Gn. Sin embargo pensé en utilizar que si es primitiva de Gn, entonces n es el orden de w. (es decir, n es la minima potencia tal que w elevado es 1)
Se me ocurriouna resolucion pero recien ahora pude conectarme. A ver como está:
Queremos ver que w es primitiva sabiendo que k y n son coprimos. Entonces, podemos ver que para toda potencia menor a n, w no es 1. Es decir que sea \(q \in N \ , q< n\) entonces \(w_{k}^{q} = cos \frac{2kq\Pi}{n} + i sen \frac{2kq\Pi}{n}\) Supongamos que \(w_{k}^{q} = 1 \ entonces \ \frac{2kq\Pi}{n} \equiv 0 \ (mod \ 2\Pi)\)
Es decir que \(n|kq \ entonces \ como \ (k:n)=1 \ resulta \ que \ n|q\) Lo cual es absurdo pues dijimos q < n.
La resolucion parece estar bien, lo que está MAL es la definición de primitiva que pones al principio. La segunda (que la menor potencia que da 1 es n) está bien.