Hola a todos!
ando teniendo un problema con un ejercicio de complejos, capaz alguno me pueda orientar un poco:
[*] \(Sea \ n \in N \ un \ numero \ impar\ : \\ Probar \ que \ si \ w \in \ G_{n} \ es \ una \ raiz \ primitiva \de \ la \ unidad \ de \ orden \ n \ entonces \ -w \ es \ una \ primitiva \ de \ orden \ 2n\)
[*] \(Probar \que \ todas \ las \ raices \ primitivas \ de \ la \ unidad \ de \ orden \ 2n\ son \ de \ esta \forma \\)
La primer parte la resolvi asi:
\(Sea \ w = \cos ( \frac {2k \pi }{n} ) + i \sin ( \frac {2k \pi }{n} ) \ donde \ (k : n) = 1 \ entonces \ -w = \cos ( \frac {2k \pi }{n} + \pi ) + i \sin ( \frac {2k \pi }{n} + \pi ).\)
El problema ahora lo tengo con la parte B. No sé como hacer la vuelta, porque parto de que si el argumento de \(z\in G_{2n} \ es \ \frac {2k\pi}{2n}\) con ( k : 2n) = 1, no se como hacer para mostrar que siempre existe un \(\w \in G_{n} \ tal \ que \ z = -w\) . Traté de encararlo por el mismo lado, con la coprimalidad en los argumentos, pero siempre me trabo y no puedo probar que siempre existe ese w en Gn .
Cualquier ayuda seria genial, muchas gracias!