induccion -final

Hola!
Alguien me podria ayudar con este ejercicio?

Probar que para todo n e N vale
2^n
Σ 1/ i > n/ 2
i = 1

( por si no queda claro, la sumatoria va desde i = 1 hasta 2 elevado a la n)

Muchas gracias

ay Latex Latex. Como te extraño...

No se si está bien la manera cabeza en la que lo resolvi pero ahi va.

sea P(n) la proposicion de la sumatoria esa sobre los naturales.

Bueno. Mirá el caso base para n=1. te queda ver que **1+1/2 > 1/2 **lo cual es cierto.

H.I.:

Supongamos que vale para n. Queremos ver la implicancia para n+1.

P(n+1) es lo mismo pero la sumatoria va hasta 2^(n+1) y tenes que demostrar que la sumatoria es mayor que (n+1)/2

Pero la sumatoria hasta 2^(n+1) la separas en dos cachos. La separas hasta 2^n y la otra desde (2^{n}+1) hasta 2.2^n

Solo te quedaria demostrar que la segunda sumatoria sea mayor a 1/2. Podes cambiar de variables diciendo j=1-2^n

y te queda mas visual. Probas el primer término, y este es mayor a 1/2. Entonces si le seguis sumando cosas positivas siempre te queda mayor a 1/2.

Si alguien tiene una manera mas clara, bienvenido sea...

muchas gracias por la respuesta...

a mi se me habia ocurrido hacer lo siguiente con la sumatoria de i=1 hasta 2^(n +1)

2*2^n 2^n 2
Σ 1/i = Σ 1/i + Σ 1 /i
i = 1 i = 1 i = 1

es correcto hacer eso? sino no se como separar esa sumatoria.

gracias

No entiendo que dice xD

Poner como lo separarias directamente. Pone 2^(n+1) lo separaria en:.....

y ponelo en Negrita asi se nota.

si, quedo todo en cualquier lugar....ya entendi como lo resolviste!
muchas gracias!