[No Resuelto] 14/12/10 - Ej. 2

Buenas! Conseguí este final recién salidito del horno... escribo el ejercicio de enteros porque es en el que tengo dudas, si alguien quiere que postee el final completo que avise y lo hago 😉

A) Encontrar todos los a ∈ Z /
6X ≡ a¹²¹ (20)
14X ≡ 3 (15)
es compatible en Z.

B) Elegir un a y resolver el sistema.

Hasta acá es lo que hice:

Como 14X ≡ 3 (15) => X ≡ 12 (15)
Lo cual implica:
X ≡ 0 (3) y
X ≡ 2 (5)

Por otro lado:
6X ≡ a¹²¹ (4) y
6X ≡ a¹²¹ (5)

De 6X ≡ a¹²¹ (5) junto a X ≡ 2 (5), llego a que 2 ≡ a¹²¹ (5)
Entonces a es coprimo con 5.
Aplicando PTF, sé que a^4 ≡ 1 (5)
Luego, a ≡ 2 (5)

Con esto ¿alcanza para que el sistema sea compatible? ¿o hay que hacer algo más con la ecuación 6X ≡ a¹²¹ (4)?

Desde ya muchas gracias 😄
Saludos
Vicky

Casi, fijate que no dijiste nada de la paridad de a, y eso es importante, no?
No postearías el final completo 🙂 ?
Gracias!

Fijate que de 6X ≡ a¹²¹ (4) sale que 2X ≡ a¹²¹ (4) y eso pasa si y sólo si 2X ≡ a¹²¹ (2) y entonces 0≡ a¹²¹ (2) y como 2 es primo entonces
a ≡ 0 (2).
De acá sacás que a ≡ 0(4) o que a ≡ 2 (4) y combinando con a≡ 2 (5) y aplicando el TCR ( pues (4 : 5)= 1) obtenés que a ≡ 12(20) o
a ≡ 2 (20). Y esos son todos los a para los cuales el sistema es compatible.

Ejercicio 3 era..

Tenes la sumatoria desde i = 2 hasta n de z^i , con z perteneciente a G5, z distinto de 1... Entonces todos los n para los cuales esa suma da cero.

Ejercicio 1 era..

A={1,2,...,10} B ={1,2,...,16}

a) Contar las funciones inyectivas de A -> B tales que {1,2} este incluido en Im(f) la imagen de f.

b) Contar las funciones sobreyectivas de B -> A tales que #( f^(-1) (1)) => 7 (NOTA: f^(-1) (1) es la inversa de f evaluada en 1)

4. Tenemos un polinomio en Q[X] de grado 6 monico tal que

• (X^2 - 2) | ( f : f' )
• el polinomio tiene una raiz de argument 5PI / 4
• todas las raices del polinomio tienen igual modulo.

Factorizar el polinomio en Q, R y C.

Me quiero matar porque me olvide de la multiplicidad... soy un gil

Editado 1 vez.

¿En el 1) b) dice que la cantidad de elementos de B que van a para al 1 es mayor o igual a 7?

latex como te extraño

4)Asumí que lo que pedía el ejercicio era hallar f en Q [x] tal que:

• (x^2- 2) divide a ( f : f ' )
• una de las raíces tiene argumento 5PI/4
• todas las raíces tiene igual módulo.

Notemos que (x^2- 2) = (x - √2). (x + √2)
Luego
(x - √2). (x + (x - √2). (x + √2)) divide a (f : f ') y por lo tanto (x - √2). (x + √2) divide a f y (x - √2). (x + √2) divide a f '.

Entonces tanto (√2) como (√2)son ambas raíces de f de multiplicidad 2.

Además, sabemos que una de las raíces que nos falta encontrar tiene argumento 5PI/4, y además tiene que tener el mismo módulo que (√2).

Llamemos a esa raíz G.

Mód (G)= √2 ; arg(G)= 5PI/4.

Por lo tanto, G= √2 . [ cos (5PI/4) + i sen (5PI/4) ] = -1 -i

Ahora bien, como f pertenece a Q [x], en particular también pertenece a R [x]. Entonces el conjugado de G también es raíz. Es decir, -1+i también es raíz de f.

Ya tenemos las seís raíces de f, y podemos armarlo en su forma factorizada

f= A. { [(x - √2). (x + √2)]^2 . [x-(-1 -i)]. [x - (-1 +i)] } , con A perteneciente a Q .

Luego f = A . { (x^6) + 2 (x^5) - 2 (x^4) - 8 (x^3) - 4 (x^2) + 8x +8 } , con A perteneciente a Q .

No sé si el ejercicio pide factorizar, pero nunca está de más:

• f= A. { [(x - √2). (x + √2)]^2 . [x-(-1 -i)]. [x - (-1 +i)] } en C [x] , con A perteneciente a Q .

• f= A. { [(x - √2). (x + √2)]^2 . [(x^2) + 2x + 2]} en R [x] , con A perteneciente a Q .

• f= A. { [(x^2- 2)]^2 .[(x^2) + 2x + 2]} en Q [x] , con A perteneciente a Q .

Si el ejercicio pide un sólo f , basta con darle un valor en Q a A.

EDIT : El ejercicio pedía que f fuera mónico, luego A=1

Editado 2 veces.

nico_valle escribió:

¿En el 1) b) dice que la cantidad de elementos de B que van a para al 1 es mayor o igual a 7?

Claro, eso mismo.

nico_valle escribió:

Fijate que de 6X ≡ a¹²¹ (4) sale que 2X ≡ a¹²¹ (4) y eso pasa si y sólo si 2X ≡ a¹²¹ (2) y entonces 0≡ a¹²¹ (2) y como 2 es primo entonces
a ≡ 0 (2).
De acá sacás que a ≡ 0(4) o que a ≡ 2 (4) y combinando con a≡ 2 (5) y aplicando el TCR ( pues (4 : 5)= 1) obtenés que a ≡ 12(20) o
a ≡ 2 (20). Y esos son todos los a para los cuales el sistema es compatible.

Perfecto, muchas gracias che! =)

Aaaa. me olvidaba... si si, pide factorizar, y decia que era monico.

Disculpen las molestias.

Ahí edité. ¿Alguien tiene idea de cómo hacer el 3?

Sigo molestando con el 1) b) : ¿En vez de inversa puede ser que esté hablando de preimagen? Porque si no, no podría definirse una función inversa al no ser biyectiva (puesto que no es inyectiva, porque hay por lo menos 7 elementos de b que van a parar al 1)

Edit:

1)a)
a) Nos pide funciones inyectivas de A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} en B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16} tales que:

{1,2} pertenece a la Im(f).

Primero elijo un elemento de A para enviarlo al 1. Esto lo puede hacer de 10 maneras. A continuación elijo otro elemento de A y lo mando al 2. Esto se hace de 9 maneras.
Lo que nos queda es enviar a los 8 elementos restantes de A a 8 elementos distintos de B - {1,2} , y esto se hace de (14! / (14-8)! ) maneras.

Luego, hay 10.9. ((14! / (6)! ) funciones inyectivas que cumplen lo pedido.

nico_valle escribió:

Ahí edité. ¿Alguien tiene idea de cómo hacer el 3?

Sigo molestando con el 1) b) : ¿En vez de inversa puede ser que esté hablando de preimagen? Porque si no, no podría definirse una función inversa al no ser biyectiva (puesto que no es inyectiva, porque hay por lo menos 7 elementos de b que van a parar al 1)

Edit:

1)a)
a) Nos pide funciones inyectivas de A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} en B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16} tales que:

{1,2} pertenece a la Im(f).

Primero elijo un elemento de A para enviarlo al 1. Esto lo puede hacer de 10 maneras. A continuación elijo otro elemento de A y lo mando al 2. Esto se hace de 9 maneras.
Lo que nos queda es enviar a los 8 elementos restantes de A a 8 elementos distintos de B - {1,2} , y esto se hace de (14! / (14-8)! ) maneras.

Luego, hay 10.9. ((14! / (6)! ) funciones inyectivas que cumplen lo pedido.

Vamos! Lo hice bien aunque lo pensé distinto y los resultados parecen diferentes, da lo mismo jejeje...
Con respecto al B, sí habla de la preimagen, lo tenés que pensar como que el grupo de elementos de B que van a parar al 1 (de A) son, como mínimo, 7.
Pensalo y cualquier cosa te cuento cómo lo pensé yo.
Saludos!

Che el 3 lo hago cuando se pueda usar LaTeX, sino es imposible, muchas sumatorias =P

vicky escribió:

Che el 3 lo hago cuando se pueda usar LaTeX, sino es imposible, muchas sumatorias =P

Escribilo igual si queres, y cuando vuelva el latex ya se cambia solo (si tenes ganas, obvio)
Aca te dejo un editor online, que puede que se simplique bastante la vida ya que el latex no esta activado: http://rinconmatematico.com/latexrender/

nico_valle escribió:

4)Asumí que lo que pedía el ejercicio era hallar f en Q [x] tal que:

• (x^2- 2) divide a ( f : f ' )
• una de las raíces tiene argumento 5PI/4
• todas las raíces tiene igual módulo.

Notemos que (x^2- 2) = (x - √2). (x + √2)
Luego
(x - √2). (x + (x - √2). (x + √2)) divide a (f : f ') y por lo tanto (x - √2). (x + √2) divide a f y (x - √2). (x + √2) divide a f '.

Entonces tanto (√2) como (√2)son ambas raíces de f de multiplicidad 2.

Además, sabemos que una de las raíces que nos falta encontrar tiene argumento 5PI/4, y además tiene que tener el mismo módulo que (√2).

Llamemos a esa raíz G.

Mód (G)= √2 ; arg(G)= 5PI/4.

Por lo tanto, G= √2 . [ cos (5PI/4) + i sen (5PI/4) ] = -1 -i

Ahora bien, como f pertenece a Q [x], en particular también pertenece a R [x]. Entonces el conjugado de G también es raíz. Es decir, -1+i también es raíz de f.

Ya tenemos las seís raíces de f, y podemos armarlo en su forma factorizada

f= A. { [(x - √2). (x + √2)]^2 . [x-(-1 -i)]. [x - (-1 +i)] } , con A perteneciente a Q .

Luego f = A . { (x^6) + 2 (x^5) - 2 (x^4) - 8 (x^3) - 4 (x^2) + 8x +8 } , con A perteneciente a Q .

No sé si el ejercicio pide factorizar, pero nunca está de más:

• f= A. { [(x - √2). (x + √2)]^2 . [x-(-1 -i)]. [x - (-1 +i)] } en C [x] , con A perteneciente a Q .

• f= A. { [(x - √2). (x + √2)]^2 . [(x^2) + x + 2]} en R [x] , con A perteneciente a Q .

• f= A. { [(x^2- 2)]^2 .[(x^2) + x + 2]} en Q [x] , con A perteneciente a Q .

Si el ejercicio pide un sólo f , basta con darle un valor en Q a A.

EDIT : El ejercicio pedía que f fuera mónico, luego A=1

Fijate que la factorizacion en R[x] y en Q[x], el polinomio que vendria a ser el que sale de "[x-(-1 -i)]. [x - (-1 +i)]", no es [(x^2) + x + 2], sino mas bien [(x^2) + 2x + 2]

Pupi escribió:

Fijate que la factorizacion en R[x] y en Q[x], el polinomio que vendria a ser el que sale de "[x-(-1 -i)]. [x - (-1 +i)]", no es [(x^2) + x + 2], sino mas bien [(x^2) + 2x + 2]

Tenés razón, ahí lo edito. Gracias por la observación.

podrias postear todo el final?Por favor, quiero tener una idea de lo que estan tomando para ver si me conviene o no rendir el 28, desde ya muchas gracias!!!!!!!!!!!!!!11

Por favor, me sumo al pedido del final completo. De última, como no hay latex, quien lo sepa puede escribirlo en una hoja y escanearlo. Yo pienso dar el final el 21, y haré lo posible para postearlo acá cuando vuelva... pero por favor que alguien se cope y ponga el del 14. Saludos!

Yo lo hice asi el 1 b)
Tenemos q contar las funciones sobreyectivas de B={1,2,...,16} a A={1,2,...,10} tales q haya 7 elementos de B q vallan al {1} de A (esa seria la traduccion de q #(f^-1)(1)=>7

Bueno, aca lo primero q se me ocurrio fue dividir en casos y ir mandando, 7 elementos de B al {1} de A, desp otro caso donde mando 8, otro donde mando 9... asi hasta 16, pero lo q pasa es q nos estan pidendo funciones SOBREYECTIVAS, entonces, si hacemos el caso donde solo 7 elementos van al {1}, nos van a quedar 9 elementos de B (q seria nuestro dominio) y 9 elementos de A (q seria la imagen), y si se fijan bien no hay otro caso posible.. 😛 pues si yo mando 8 elementos al {1} entc nos quedarian 8 elementos en B y 9 en A, y si pasa eso entonces no quedarian sufucientes elementos de B para llenar la imagen, por ende no podria ser Sobreyectiva 😉 recuerden q no puedo mandar un elemento de B a mas de un elemento de A porq sino no seria funcion.

Entc lo q hacemos es, primero mandar 7 elementos al {1}, entonces elijo 7 elementos y los mando al 1, esto se hace con el combinatorio (16/7) y luego quedarian mandar los 9 elementos q sobran de B a los 9 q sobran de A, esto se hace de 9! maneras

Entc. solucion: (16/7).9!

corrijanme si me equivoque en algo pliss 😄 eso si, no me corrijan la infinidad de faltas de ortografia 😆

PimientaJade escribió:

Por favor, me sumo al pedido del final completo. De última, como no hay latex, quien lo sepa puede escribirlo en una hoja y escanearlo. Yo pienso dar el final el 21, y haré lo posible para postearlo acá cuando vuelva... pero por favor que alguien se cope y ponga el del 14. Saludos!

Fijate que kyokusanagi ya copió el resto de las consignas en este mismo topic...
Yo también doy el final el 21, grrrr! xD

Sergiogonza escribió:

Entc. solucion: (16/7).9!

Sí, me dio igual 😄

A mí el tres me dió que \(n\equiv 1 (5)\) y \(n > 2\). ¿A alguien más le dio lo mismo?

Posteo mi resolución;

Empezamos:

Primero notemos que como

\(z\neq 1 \implies z\) es primitiva.

Queremos ver que

Luego

Pero

Entonces \(\frac{{z}^{n+1} -1}{z-1} = z + 1 \Longleftrightarrow{{z}^{n+1} -1}= (z+1) . (z-1) = {z}^{2} -1}\Longleftrightarrow {{z}^{n+1} ={z}^{2} }\)

Como estamos en \({G}_{5}\) esto pasa si y sólo si \(n + 1 \equiv 2 (5) \Longleftrightarrow { n\equiv 1 (5)}\)

Ademas, \(n \geq 2\) pues sino no se podría definir la sumatoria .

Edit: gracias Kill por la observación.

Editado 2 veces.

nico_valle escribió:

A mí el tres me dió que \(n\equiv 1 (5)\) y \(n > 2\). ¿A alguien más le dio lo mismo?

Sí, a mí me dio eso, creo que está bien!
Te presentaste al final el 21? Yo estoy yendo a buscar la nota... D:

Che nico, una boludes nada más. Tené cuidado en la sumatoria, estás sumando \(z^{n}\) n veces y eso sería \(n\cdot{z^{n}}\).
La suma es sobre \(i\) y sumás \(z^{i}\)

Ahora una duda pues estoy medio colgado, cuando decís que \(n>2\) es por la sumatoria original no? Porque partías de \(i=2\)?

Saludos...

Es que no se por qué razon puse \({z}^{n}\) en vez de \({z}^{i}\), que es lo que decía el enunciado. Ahora lo arreglo.
En cuanto a lo n mayor a 2, es exactamente por lo que decís vos.

Ok, muchas gracias.

Saludos.

nico_valle escribió:

Fijate que de 6X ≡ a¹²¹ (4) sale que 2X ≡ a¹²¹ (4) y eso pasa si y sólo si 2X ≡ a¹²¹ (2) y entonces 0≡ a¹²¹ (2) y como 2 es primo entonces
a ≡ 0 (2).
De acá sacás que a ≡ 0(4) o que a ≡ 2 (4) y combinando con a≡ 2 (5) y aplicando el TCR ( pues (4 : 5)= 1) obtenés que a ≡ 12(20) o
a ≡ 2 (20). Y esos son todos los a para los cuales el sistema es compatible.

Creo que no podes separar 2X ≡ a¹²¹ (4) en 2X ≡ a¹²¹ (2).

Perdon que reviva este post de mas de una año pero , creo q el ejercicio de enteros que hizo nico_valle si bien da los resultados que son ,no esta bien resuelto
ya que como dijo amadeo no se puede decir que 2X ≡ a¹²¹ (4) si solo si 2X ≡ a¹²¹ (2) porque que 2 divida a un numero no implica que 4 tambien lo divida.

YO LO RESOLVI DE ESTA MANERA:

Primero de 14X ≡ 3 (15) sacamos que X ≡ 12(15) osea x=12+15k despues la otra ecuacion la

podemos separar en coprimos: 6X ≡ a¹²¹ (5) y 6X ≡ a¹²¹ (4) si reemplazamos la X queda

72+90k ≡ a¹²¹ (5) usando fermat y demas llegamos a que esto pasa si y solo si a ≡ 2 (5).

Despues trabajamos con 6X ≡ a¹²¹ (4) , reemplazando la X por 12+15k y llegamos a que 2k ≡ a¹²¹ (4)

ahora tenemos que analizar los posibles a. Primero si a y 4 son coprimos por el teorema de euler

queda a ≡ 2k (4) osea a=2k+4k lo cual es absurdo porque a y 4 eran coprimos. Despues si a y 4

no son coprimos entonces podemos asegurar que a=2q entonces queda 2k ≡ (2q)¹²¹(mod 4)

Y nos queda la ecuacion diofantica (2)k-(4)z= (2q)¹²¹ , la cual podemos asegurar que es

compatible pues el MCD entre 2 y 4 es 2 y divide a (2q)¹²¹ . Bueno ya esta entonces nos

quedo que el sistema es compatible si y solo si a=2k si y solo si a ≡ 0 (2) si y solo si a ≡ 0 (4) o

a ≡ 2 (4). Listo, lo que queda es resolverr los sistemas con a ≡ 0 (4) o a ≡ 2 (4) y a ≡ 2 (5).

Bueno creo que esta bienn. =)