Hallar todos los polinomios de la forma
$$x^4 + ix^3 + 2x^2 + aix + b$$
con\(a, b \in \mathbb{Z}\) coprimos y no nulos, que admiten al menos una raiz racional. Para todos los valores hallados, factorizar el polinomio obtenido
Tema
[No Resuelto]Final(13/08/04)Ejercicio5
Una idea, no sé si saldrá:
Llamo \(c\) a la raíz racional (en particular es real) que sé que existe. Evalúo el polinomio en \(c\) y sé que da \(0\)
$$c^4+ic^3+2c^2+aic+b=0$$
Separo la parte real de la imaginaria
$$(c^4+2c^2+b)+i(c^3+ac)=0 \Longleftrightarrow$$
\(c^4+2c^2+b=0\) y
$$c^3+ac=c(c^2+a)=0$$
Se reduce el caso a un polinomio de grado \(4\) (que se puede hacer una sustitución \(w=c^2\) y queda de grado \(2\)) y a otro de grado \(2\).
Todavía no usé que \(c\) es racional, sólo usé que es real.
Espero que sirva de algo.
Saludos.
Firma
$$\bigstar Sofi \bigstar$$
Acá tá. Chequear por favor que yo soy un gil con las cuentas
\($La idea es usar lo que dijo Sofi, aunque para m\'i que no sale tan f\'acil. Lo que pasa es que ella es muy inteligente y yo soy un simple mortal jajaja...\)
$$$Queremos encontrar los x tales que:$$
$$P= x^4 + ix^3 +2x^2 + aix + b = 0$$
$$$Sea $\varphi$ una ra\'iz racional de P $\Rightarrow P(\varphi)=\varphi^4 + i\varphi^3 +2\varphi^2 + ai\varphi + b = 0$$
$$$ Como $P(\varphi)$ es $ 0$ y $P\in \mathbb{C}$ Entonces ese cero es el cero de $\mathbb{C}$, o sea,$ 0 + 0i$ Luego, $ \varphi^4 + 2\varphi^2 + b = 0 ^\star \land \varphi^3 + a\varphi = 0^\bullet$$
$$$De $\bullet$ podemos sacar que $\varphi (\varphi^2 + a) = 0$ Como $\varphi$ no puede ser 0 dado que si no $b=0$ pues $b$ es el t\'ermino independiente de $P$ y es la multiplicaci\'on de todas sus ra\'ices. Luego $\varphi^2 + a = 0$.$$
$$$De lo que deducimos que $ a = -\varphi^2 \;\;^\square$$
$$$Reemplazando en $ \star$, $a^2 -2a + b = 0$$
$$$Pero $a^2 -2a + b = 0$ lo podemos pensar como un polinomio en $\mathbb{Q}[X]$, luego, por el teorema de Gauss, $a\vert b$, pero $(a:b)=1$. Por lo que $\vert a \vert = 1 \lor \vert b \vert =1$. Veamos que $a\neq 1$ pues en $\square$ decimos que $a = -\varphi^2$. Si $a = 1$ Entonces $\varphi$ no es racional$$
$$$Luego $a\neq-1$ Reemplazando en $a^2 -2a +b=0$, $ b=-3$$$
$$$b podr\'ia ser 1 o -1 tambi\'en. Chequeemos que eso no nos conduce a nada:$$
$$$Con $ b = 1$: $a^2 -2a +1 = 0 \Rightarrow a= 1$ Pero $a\neq 1$ por $\square$$
$$$Con $b= -1:\; a^2 -2a -1 = 0 \Rightarrow\; a$ no es entero como pide el enunciado$$
$$$Chequeemos que todo funcione con $a= -1$ y $b= -3$$$
$$$por $\square: a = -\varphi^2 \Rightarrow \varphi = \pm 1$$
$$P(x) = x^4 + ix^3 +2x^2 -ix -3$$
$$P(1) = 1 + i + 2 - i -3 = 0$$
$$P(-1) = 1 -i +2 +i -3 = 0$$
$$$Usando Ruffini un par de veces:$$
$$P= (x+1)(x-1)(x^2 + ix +3)$$
$$$Usando la resolvente:$$
\(P= (x+1)(x-1)(x- \frac{i+i\sqrt{14}}{2})(x- \frac{i-i\sqrt{14}}{2})\)
Firma
Para Erizo:
Hay algo que no entiendo... Cuando decís que considerás a \(a^2-2a+b\) un polinomio, quién cumple el papel de \(X\)? Si tomá a "\(a\)", entonces lo que deberías ver es que \(1|b\) (que pasa siempre). Pero OJO! Si no te quedara \(1\), si te quedara otro número, digamos \(q\), habría que ver que \(q|b\) si te piden que tenga una raíz entera, pero te piden que sea racional, así que no es necesario que lo divida.
Así que no entendí lo que quisiste hacer 🙁
Para seguir con la idea que tiré antes:
Tengo dos polinomios \(X^4+2X^2+b\) y \(X^3+aX\) y quiero que los dos tengan la misma raíz, llamemosla \(c\). Quiero que \(X-c\) divida a los dos polinomios, es decir quiero que \(X-c\) divida al MCD entre los polinomios
me parece que lo que quiso hacer erizo era esto:
vos por un lado sacas que \(\varphi^2 = -a\)
lo que implica que \(\varphi|a\)
y por otro lado tenes la ecuación \(\varphi^4 + \varphi^2 + b = 0\) que lo pensas como un polinomio donde \(\varphi\)juega el valor de \(x\)
como el \(\varphi\) que buscamos es racional, entonces éste último polinomio debe tener una raiz racional
las raices racionales te las da el criterio de gauss, en este caso serían: \(-b; +b; 1; -1\) o alguno de los divisores de b
como sabemos que a y b son coprimos y ademas que \(\varphi|a\) , ninguno de los divisores de b podría ser la raíz racional que estamos buscando, por lo tanto , los únicos valores posibles para \(\varphi\) son 1 y -1
reemplazando en el polinomio ( con 1 y -1 me quedan el mismo valor para b) : \(1^4 + 2(1^2) + b = 0\), es decir \(b = -3\)
despejas el valor de a ya que tenes el valor de b y me parece que el resto sale como dijo erizo
espero no estar tirando demasiada fruta, pero me parece que es eso
Sip, eso quise hacer 🙂
Igual se me hace que la idea de sofi es la menos URGGGHHHHHH y la posta de como se debería hacer...
Mi cabeza dice: "\(Problema \Rightarrow Garrote\)"
Sí, ya entendí... 😛