Hallar el módulo y el argumento de cada uno de los z pertenecientes al conjunto complejo que satisfacen
$$(z^4 - 1)^3 = 1$$
yo habia pensado sacar raiz cubica en ambos lados de la igualdad con lo cual me quedaria
\(z^4-1 = 1\), hago un despeje y me queda \(z^4 = 2\)
pero siento como que me quedan fuera soluciones, porque si hago el desarrollo de la cubica el termino mas grande quedaria: \({z}^{12} + ...\) con lo cual tendria 12 soluciones y el metodo q propongo yo me da solo 4
otra cosa q se me ocurrio:
pienzo \(z^4-1 = w\), con lo que me quedaria \(w^3 = 1\)
que son las raices cubicas de 1
entonces volviendo al principio me quedaria:
Yo hice lo mismo que dicen acá, de ver que \({z}^{4} - 1\) es raíz cúbica de la unidad, y de ahí vi los tres casos posibles. Pero posteo porque mis resultados son diferentes que los de BiFo:
Pero en los otros dos a mi me dio que:
• \({w}_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} . {i} \Rightarrow {z}^{4} - 1 = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} . {i} \Rightarrow {z}^{4} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} . {i}\)