- Sean a,b \(\in{Z}\) no nulos. Probar que \(([a:b]:a+b) = (a:b)\)
Bien.
Sabemos que \((a:b)|a\) y \((a:b)|b\) Luego
(1) \(a = (a:b)p\) y \(b = (a:b)q\) con \(p,q\in{Z}\)
Luego \((a:b) = ((a:b)p:(a:b)q) = (a:b)(p:q)\) Entonces \((p:q) = 1\)
(2) Reemplazando \(([a:b]:a+b) = ([a:b]:(a:b)p+(a:b)q) = ([a:b]:(a:b)(p+q))\)
Aparte sabemos que \(ab = [a:b](a:b)\)
Pero por (1) sabemos que \([a:b](a:b)=ab=((a:b)p)((a:b)q)=(a:b)^{2}pq\)
(3) Luego \([a:b](a:b)=(a:b)^{2}pq\) => \([a:b]=(a:b)pq\)
Volviendo a (2) Sabemos que \((a:b) = ([a:b]:(a:b)(p+q))\) pero reemplazando lo que conocimos en (3)
$$([a:b]:(a:b)(p+q)) = ((a:b)pq:(a:b)(p+q)) = (a:b)(pq:p+q)$$
Casi estamos...
Cálculo auxiliar : (pq:p+q)
**(4)** Tomamos un d tal que \(d|pq\) y \(d|p+q\)
Luego \(d|(p+q)p\) =>\(d|(p^{2}+pq)\)
=> \(d|p^{2}+pq-pq\) (por **(4)**)
**(5)** \(d|p^{2}\)
Análogamente \(d|(p+q)q\) =>\(d|(q^{2}+pq)\)
=> \(d|q^{2}+pq-pq\)
**(6)** \(d|q^{2}\)
=> Por **(5)** y **(6)** \(d|(p^{2}:q^{2})\)
Pero como sabemos que (p:q) = 1 entonces \((p^{2}:q^{2})=1\).
Moraleja: Si d|pq y d|p+q, entonces d=1 o d=-1 => (pq:p+q) = 1 😄
Juntando todo:
$$([a:b]:a+b) = ([a:b]:(a:b)(p+q)) = ((a:b)pq:(a:b)(p+q)) =$$
$$=(a:b)(pq:p+q) = (a:b)$$
\(\Box\) 😄 😄 😄 😄
Espero que le sirva a alguien. Si hay algún error y/o cosa que no se entienda avisen nomás.
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