Final 17/12/04 Ej 3

Demostrar que existen infinitos pares de enteros \((x,y)\) tal que \(x+y=196\) y \((x:y)=7\).
No se muy bien que es lo que tengo que hacer, osea es muy evidente que tiene infinitas soluciones, que es lo que tengo que escribir?

Viendo la ecuación \(x+y=196\) como una diofántica, sacás que todas las soluciones enteras son \((x,y)=(1,195)+k(-1,1)=(1-k,195+k)\), \(k \in \mathbb{Z}\) (por ejemplo, hay otras posibilidades de escribir lo mismo)

Ahora hay que ver que existen infinitos \(k\) tal que \((1-k:195+k)=7\)

\(7|k-1 \Longleftrightarrow k\equiv1(7) \Longleftrightarrow k=7q+1\) (\(q \in \mathbb{Z}\))

\(7|195+k=196+7q\) pues \(7|196\) y \(7|7q\)

Quiero que \((q:28+q)=1\)
si \(q= \pm 1 \Rightarrow (\pm 1:29)=1\)
si \(q \neq 1 \Rightarrow \exists p\) primo tal que \(p|q\). Quiero que \(p\) no divida a \(28+q\), como \(p|q \Rightarrow p\) no divide a \(28 \Rightarrow p \neq 2\), \(p \neq 7 \Rightarrow q\) es imapar y \(q\) no es múltiplo de \(7\).

Entonces todas las soluciones son \((x,y)=(-7q,196+7q)\) con \(q \in \mathbb{Z}-\lbrace\)impares, múltiplos de \(7\rbrace\) y son infinitas pues los número impares que no son divisibles por \(7\) son infinitos.

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$$\bigstar Sofi \bigstar$$

Una pregunta, está bien pensado así?

\(x = 7k,\ y = 7q\)

Una solución particular de esto es k = q = 14. Las soluciones de este sistema van a ser de la forma Entonces las soluciones al problema original se obtienen multiplicando a todo por 7, osea \(S = \{(7x,7y) / (x,y) \in S_1\} = \{(7(14+k), 7(14 - k))\}\ \forall\ k \in \mathbb{Z}\)

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Por qué los poetas usan integrales?
Porque Riemann.