BUENO ,aca subo mi apunte de Algebra con todas las propiedades,o casi todas,si falta alguna sepan disculpar,pero por lo menos este es el apunte que yo hice para mí mismo y que me acompañó durante toda la etapa de finales, igual obviamente sirve para la etapa de parciales porq tiene lo de toda la materia...
Espero que sirva,se entienda y no aburra 😄
.Sea A un conjunto, P(A) es otro conjunto cuyos elementos son todos los subconjunos de A. Ej: A={1,2}
P(A)={\(\varnothing\),{1,2},{1},{2}}
.La cantidad de elementos de un P(A) es \(2^n\), donde n es la cantidad de elementos del conjunto A original. (tambien es
.A,B dos conjuntos., una relación R es un subconjunto de AxB.
.Definimos que \(R\subseteq AxA\) como \(\small Relacion de Equivalencia\) si:
\(\forall a\in A\), a~a (Reflexiva)
\(\forall a,b\in A\), a~b \(\Rightarrow\) b~a (Simétrica)
\(\forall a,b,c\in A\) a~b \(\land\) b~c \(\Rightarrow\) a~c (Transitiva)
.Definimos que \(R\subseteq AxA\) como \(\small Relacion de Orden\) si:
\(\forall a\in A\), a~a (Reflexiva)
Si a~b \(\land\)b~a\(\Rightarrow\) a=b (Antisimétrica)
\(\forall a,b,c\in A\) a~b \(\land\) b~c \(\Rightarrow\) a~c (Transitiva)
.Decimos que R es Arreflexiva si \(\forall a\in A\) , \((a,a)\notin R\)
.Llamamos clase de a a: \(\over{A}\):{\(x\in A\)/x~a}
entonces si b~a \(\Rightarrow\)\(b\in\) \(\over{A}\)
.Decimos que R es una \(\small Relacion de orden estricta\) si R es arreflexiva y transitiva
.Una Partición de un conjunto A está dada por subconjuntos no vacíos de A, 2 a 2 disjuntos, cuya unión dá A.
Ej: A={1,2,3,4,5,6} \(P=\{1,2,3}\}\cup\{4}\}\cup\{5,6}\}\)
.Es = dar una Partición que dar una Relación de Equivalencia en A
.Para todo conjunto hay AL MENOS 2 clases de equivalencia.
.Dados A y una relación de equivalencia R, se llama Conjunto de Representantes a la elección de un elemento en cada clase de equivalencia.
Sea una funcion A-->B
. Función Suryectiva: una función es Suryectiva si \(\forall b\in B\), \(\exists a\in A\) tal que f(a)= b (si todo elemento de B es imágen de alguien)
. Función Inyectiva: una función es Inyectiva si dados \(a1,a2\in A\),\(a1\neq a2\) \(\Rightarrow\) \(f(a)\neq f(b)\)
. Función Biyectiva: una función es biyectiva si cumple que es Inyectiva y Suryectiva. Y si una función es biyectiva, es posible definir\(f^{-1}\) (la función inversa de f)
. Funciones de {1...n},{1...m} son \(m^n\) funciones \(\neq\) porque son n elecciones independientes de m elementos
. Funciones biyectivas de un conjunto con n elementos , son n!
.\(\sum_{i=0}^{n}a^i\) = \(\frac{a^{n+1} - 1}{a - 1}\)
.Suma de los primeros n impares: \(\sum_{i=1}^{n}2i - 1\)
. # Términos en una sumatoria de una sola variable simple (lo pongo con un ejemplo) : \(\sum_{i=0}^{96}i\)= (96 -0)+1 = 97
. Suma de todos los naturales: .\(\sum_{i=0}^{n}i\)= \(\frac{n(n+1)}{2}\)
.\(a^m - b^m\)=\((a-b).\sum_{i=1}^{m}a^{i-1} . b^{m-i}\)
.Suma de divisores positivos de un número: ejemplo: La suma de los divisores positivos de \(10^{10}\)=
\(\sum_{i,j=0}^{10}2^i. 5^j = \sum_{j=0}^{10}(\sum_{j=0}^{10}2^i.5^j)\)= \(\sum_{j=0}^{10}5^j . \sum_{i=0}^{10}2^i = \frac{5^{11}-1}{5-1} . \frac{2^{11}-1}{2-1}\)
.Combinatorio (no importa el órden)
.
.
.Variaciones (importa el órden) = \(\frac{n!}{(n-k)!}\)
.#{subconjuntos de k elementos en un conjunto de n elementos} =
. Bosones:
. Coeficiente multinomial: C(n,n1,n2,...nk)=
.\(a,c\neq 0\) \(c/a,a/b \Rightarrow c/b\) (Transitividad)
.\(a,b\neq 0\) \(a/b,b/a \Rightarrow |a|=|b|\)
.\(a/a\) \(\forall a\in\mathbb{Z}\)
. \(c/a,c/b \Rightarrow c/a+b , c/a-b\)___\((c\neq 0; a,b,c\in\mathbb{Z})\)
. \(c/a,c/b \Rightarrow c/s.a+t.b\)\((\forall s,t\in\mathbb{Z})\)
.\(c\neq 0\) \(c/a+b,c/b \Rightarrow c/a\)
.\(c,c'\neq 0\) \(c/a,c'/a' \Rightarrow c.c'/a.a'\)
.\(c\neq 0\) \(c/a \Longleftrightarrow c^n/a^n , c/a^n\)
.\(\forall a,b\in\mathbb{Z} , a\neq b\) y \(\forall n\in\mathbb{N}\) \(a-b/a^n - b^n\)
.\(a.b/c \Rightarrow a/c \land b/c\)
.Todo \(a\in\mathbb{Z}; a\neq 0\) tiene al menos 2 divisores (1 y -1)
.\(p\in\mathbb{Z}\) se dice primo si tiene exactmente 4 divisores \(\Rightarrow p\neq 0,1,-1\)
.Si \(2\leq |a|; a\in\mathbb{Z} \Rightarrow \exists p\in\mathbb{Z}\) primo positivo tq \(p/a\)
.Si a es compuesto \(\Rightarrow \forall a\neq 0,1,-1 \exists p\)primo tal que \(p/a ; p^2\leq |a|\)
.\(\forall a,b,c\in\mathbb{Z} , b\neq 0,\) \(\exists ! q,r\in\mathbb{Z}\) tales que \(a=b.q+r\)
con \(0\leq r\leq |b|\)
.\(b/a-r\) si a = b.q+r
Propiedades de los restos:
.Ra(b.c)=Ra(Ra(b) . Ra(c))
.Ra(b+c)=(Ra(b)+Ra(c)).Ra
MCDs:
.(a:b)=(b:a)=(-a:b)=(a:-b)=(-a:-b) \(\forall a,b\in\mathbb{Z}\) (no ambos 0)
.(a:0)=(0:a)=|a| \(\forall a\in\mathbb{Z};a\neq 0\)
.(a:b)=(a+b.k:b) \(\forall a,b,k\in\mathbb{Z};a,b\neq 0\)
.Recordar el Algoritmo de Euclides para calcular MCDs
.(a:b)=(Ra(b):b)
\(\large Coprimos:\) \(a,b\in\mathbb{Z}\) (no ambos 0) tal que (a:b) = 1
. a y b 2 primos \(\neq \Rightarrow\)Son coprimos
.a primo = p
\(\Rightarrow\) \(p/b\Leftrightarrow (p:b)= +- p\)
\(\Rightarrow\) p no divide a b \(\Leftrightarrow\) Los únicos divisores comunes son +-1\(\Leftrightarrow\) (p:b)=1
.(a:b) = 1,\(\forall c\in\mathbb{Z}; a/b.c \Rightarrow a/c\)
.(a:b) = 1 \(\forall c\in\mathbb{Z},b\neq 0 ; a/c,b/c \Leftrightarrow a.b/c\)
. p primo \(a,b\in\mathbb{Z}\) si p/a.b\(\Rightarrow\) p/a ó p/b
.\(a,b\in\mathbb{Z}\)(no ambos 0),(a:b) = 1 \(\Leftrightarrow \exists s,t\in\mathbb{Z}\) tq 1=s.a+t.b
.\(\forall a,b\in\mathbb{Z}\)(no ambos 0),a=(a:b).k , b=(a:b).k' \(\Rightarrow (k:k')= (\frac{a}{(a:b)}:\frac{b}{a:b)}=1\)
.(a:b)=s.a+t.b \(\Rightarrow 1= (s. \frac{a}{(a:b)}:t. \frac{b}{(a:b)})\)
. c>0 ; (c.a:c.b)=c.(a:b)
.(a:b) = 1 y (a:c)=1 \(\Rightarrow\) (a:b.c) = 1
.(a:b)=1 \(\Rightarrow\) \((a^m:b^n) =1=(b^n:a) \forall n\in\mathbb{N}\)
.p primo (p:a)=1 \(\Rightarrow (p:a^n) = 1 \forall n\in\mathbb{N}\)
. Todo a entero distinto de 0,1 y -1 se puede escribir como producto de primos a potencias.(Teorema fundamental de la aritmética)\(\prod_{i\eq=1}^{n}{{p}_{i}}^{{v}_{i}}\)
.p primo \(p/a^n\) \(\Rightarrow\) \(p/a\)
.d/a y d/b \(\Rightarrow\) d/(a:b)
MCMs:
. [a:b]=[-a:b]=[a:-b]=[-a:-b]=[b]
.a/b \(\Leftrightarrow\)[a:b]=|b|
.a/b \(\Leftrightarrow\) (a:b)=|a|
.(a:b)=1 \(\Rightarrow\)[a:b]=|a|.|b|
.[a:b] . (a:b) = |a|.|b|
.[a:b]=\(\frac{|a|.|b|}{(a:b)}\)
.Pequeño Teorema de Fermat: \(a^p\equiv a(p)\)
.Teorema de Fermat:si (a:p) = 1 \(a^{p-1}\equiv1(p)\)
Pongo un ejemplo para que se entienda:
5a+8b = 3 \(a,b\in\mathbb{Z}\)
Primero busco una solución particular \(({a}_{0},{b}_{0})\) "a ojo" o aplicando algoritmo de Euclides.
para este caso usemos 1=2.8 - 3.5 \(\Rightarrow\) 3= 6.8 - 9.5
Entonces todas las soluciones serán:
entonces queda: a= -9+8k b= 6-5k \(k\in\mathbb{Z}\)
(en este caso uso 8 y 5 pero pueden variar,obviamente)
Nota: a uno de los sumandos se le cambia el signo...en este caso se lo cambié al "5k"
Importante: Los números en los lugares de 5 y 8 deben estar COPRIMIZADOS. Es decir, divididos por todos sus divisores comunes hasta quedar coprimos.
. \(\over{z+w}\) = \(\over{z}\)+\(\over{w}\)
.\(\over{z}\).\(\over{w}\)=\(\over{z.w}\)
.\(\overline{\overline{z}}\) = z
.\(\overline{z^{-1}}\) = \(\overline{z}^{-1}\)
.z.\(\overline{z}\)= \(|z|^2\)
.z=\(\overline{z}\)\(\Leftrightarrow\) \(z\in\mathbb{R}\)
.\(z^{-1} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}\)
.|z.w|= |z|.|w|
.\(|z+w|\leq |z|+|w|\)
.\(|Re(z)|\leq |z|\) y \(|Im(z)|\leq |z|\)
.\(|z^{-1}|= |z|^{-1}\)
. \(||z|-|w||\leq |z-w|\)
Gn (Raíces de la Unidad)
.Gn tiene n elementos
.\(z,w\in Gn \Rightarrow z.w\in Gn\)
.\(w\in Gn \Rightarrow w^{-1}\in Gn\)
.\(w\in Gn \Rightarrow |w|=1\)
.\(w\in Gn \Rightarrow \overline{w}\in Gn\)
.\(-1\in Gn \Leftrightarrow\)n es par
.\(Gn\cap Gm= {G}_{(n:m)}\)
.\(Gn\subseteq Gm \Leftrightarrow n/m\)
.\(w^k\) es una raíz enésima primitiva de la unidad si (k:n)=1
. w es primitiva de Gn\(\Leftrightarrow \overline{w}\)lo es
.w es primitiva de Gn \(\Leftrightarrow w\notin Gk\) con k< n y k/n
.w ess primitiva de Gn si w^k = 1 \(\Leftrightarrow\) n/k
.La suma de todas las Gn = 0 (todas las raíces de Gn)
.El producto de todas las raíces de Gn = \((-1)^{n-1}\)
. gr(f.g)= gr(f)+gr(g)
.\(gr(f+g)\leq máx{gr(f);gr(g)}\)
.\(gr(f^n) = n.gr(f)\)
.Polinomio mónico= {Coeficiente principal=1}
.\(F(x)= x^n+{b}_{n-1}. x^{n-1}+...+{b}_{1}.x+{b}_{0}\)
\({b}_{n-1} =\)-Suma de raíces de F(x) (OJO! es MENOS la suma!)
.Si \(gr(f)\neq gr(g) \Rightarrow gr(f+g)= \max{gr(f);gr(g)}\)
.En (f(x): f'(x)) aparecen exactamente las raíces con multiplicidad mayor que 1 de f(x)
.Para obtener un polinomio con las mismas raíces que f(x) (que tiene alguna múltiple) pero todas simples:\(\frac{f(x)}{(f(x):f'(x)})\)
.Los polinomios irreducibles en \(\mathbb{C}\) son los de grado 1.
.Los polinomios irreducibles en \(\mathbb{R}\) son de grado 1 ó 2
.Si \(f(x)\in\mathbb{Z}[x]\) definimos contendio de f: \(f(x)={a}_{n} x^n+{a}_{n-1} x^{n-1}...{a}_{0}\)
cont f(x)=(\({a}_{n}:{a}_{n-1}:...:{a}_{0})\)
.Decimos que f es primitivo si f(x)=1
.Cont{g(x) . f(x)} = cont f(x). cont f(x)
.Si tengo un polinomio de coeficientes enteros de grado n,puedo hallar los divisores del término\({a}_{0}\) y los de \({a}_{n}\) llamándolos p y q respectivamente,entonces si el polinomio tiene alguna raíz real,esta será alguna de las que obtengo haciendo p/q (tomando ambos, valores positivos y negativos para cada uno de los divisores)
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Pape Trataremos de buscarle una solución más útil que el famoso "reinicie el equipo y vea si mejora"