[Resuelto] Álgebra-Recuperatorio del 2do Parcial (12/07/08)

1. Sea \(a \in \mathbb{Z}\) tal que \(a^{4} \equiv 80 (101)\) y \(a^{5} \equiv 87 (101)\).
Calcular el resto de dividir \(a\) por 101.

\(a^{5} \equiv 87 (101)\)

Se busca el inverso multiplicativo, por ejemplo con el algoritmo de Euclides \(a \equiv 68 (101)\)

2. Sea \(p\,=\,x^{200} + b x^{46} + 2\)
(a) Encontrar los \(b\in \mathbb{Z}\) tales que

(b) Listar todas las soluciones halladas que estén entre \(0\) y \(1000\)

\((a)\)

Como \((2 : 7) = 1\), por \(P.T.F\) \(2^{200} \equiv 4 (7)\) Después, \(p(2) \equiv 4+2b+2 (7) \equiv 6+2b (7)\) Como quiero \(p(2) \equiv 3 (7)\) Se sigue \(p(2) \equiv 6+2b \equiv 3 (7) \; \iff b\equiv 2(7)\) Dede suceder \((b : 5)=1\), de no ser así, \(p(b) \equiv 2 (5)\), lo cual no satisface el sistema del enunciado.

\(b^{200} = (b^{4})^{50} \equiv 1 (5)\), (\(P.T.F\))
\(b . b^{46} = b^{3} . (b^{4})^{11} \equiv b^{3} (5)\), (\(P.T.F\))

Después, \(p(b) \equiv 1 + b^{3} + 2 (5) \equiv 3 + b^{3} (5)\)
Como quiero \(p(b) \equiv 1 (5)\)
Se sigue \(p(b) \equiv 3 + b^{3} \equiv 1 (5) \; \iff b^{3} \equiv 3 (5)\)
Más aún, \(b^{3} . b^{3} \equiv 3 . 3 (5) \; \iff b^{2} . b^{4} \equiv 4 (5)\)

Luego \(b \equiv 2 (5)\) Analicemos los posible restos de dividir \((b+1)\) por \(3\) Si \((b+1)\equiv 1 (3) \Longrightarrow p(b+1) \equiv 0 (3)\) No satisface el sistema del enunciado Si \((b+1)\equiv 2 (3) \Longrightarrow p(b+1) \equiv 1 (3)\) No satisface el sistema del enunciado Si \((b+1)\equiv 0 (3) \Longrightarrow p(b+1) \equiv 2 (3)\) Satisface el sistema del enunciado Luego, \(b+1\equiv 0 (3) \; \iff b \equiv 2 (3)\)

Entonces, como \(3 , 5 , 7\) son coprimos dos a dos, puedo decir \(b \equiv 2 (3 . 7 . 5)\), es decir \(b \equiv 2 (105)\)

2, 107, 212, 317, 422, 527, 632, 737, 842, 947

3.****(a) Dado \(n \in \mathbb{N}\), encontrar todos los \(z \in \mathbb{C}\) tales que \(z^{n} + \frac {1}{z^{n}} = -2\)
(b) ¿Cuántos de estos \(z\) cumplen \(Im(z)>0\)?

\((a)\) \(z^{n} + \frac {1}{z^{n}} = -2 \; \iff \frac {z^{2n} +1}{z^{n}} = -2 \; \iff z^{2n} + 2 . z^n + 1 = 0\)
Sea \(u=z^{n}\), tenemos \(u^{2} + 2 . u + 1 = 0\)
Buscamos las soluciones, y tenemos \(z^{n} = -1\)
Luego, \(| z^{n} | = | -1 | \; \iff |z| = 1\)
Por otro lado, \(\arg (z^{n}) = \arg (-1) \; \Longrightarrow n . \arg (z) = \pi + 2.k.\pi \; k\in \mathbb{Z}\)
Se sigue \(\arg (z) = \frac {\pi + 2.k.\pi}{n}\)
Luego \(z = \cos \frac {\pi + 2.k.\pi}{n} + i . \sen \frac {\pi + 2.k.\pi}{n} \; k\in \mathbb{Z} \; / \; 0 \le k \le n-1\)

\((b)\) Como el sen es positivo \(\forall h \in \mathbb{R} \; / \; 0 + 2.t\pi < h < \pi + 2.t.\pi\), \(t\in \mathbb{Z}\), vamos a pedir \(0 < \frac {\pi + 2.k.\pi}{n} < \pi\)
Así, concluimos \(0 < k < \frac {n-1}{2}\)
Si \(n-1 \equiv 0 (2)\) entonces tomamos "uno menos", luego \(1 \le k \le \frac {n-1}{2} - 1\). Hay \(\frac {n-3}{2}\) z que cumplen.
Si \(n-1 \equiv 1 (2)\) entonces tomamos \(1 \le k \le \frac {n-1}{2} - \frac {1}{2}\). Hay \(\frac {n-2}{2}\) z que cumplen.

4. Encontrar las raíces múltiples de \(f = x^{4} + 6 . x^{3}} + 11 . x^{2} + 6 . x + 1\). Factorizar \(f\) en \(\mathbb{Q} [x] , \mathbb{R} [x] y \mathbb{C} [x].\)

Como \(f\) tiene raíces múltiples, la idea es hallar \(f'\), encontrar las raíces y ver cual ellas es tambíen raíz de \(f\)

Luego, el método de Gauss nos sugiere que \(\frac {-3}{2}\) es un buen candidato a raiz. De hecho \(f' (-3/2) = 0\) Después podemos hacer lo que nos guste, por ejemplo Ruffini, hallar las otras raíces, las cuales van a ser \(\frac {-3+\sqrt{5}}{2}\) y \(\frac {-3-\sqrt{5}}{2}\) Basta chequear que \(\frac {-3}{2}\) no es raíz de \(f\), pero las otras \(2\) sí. Como ambas son raíz de \(f\), y además son raíces de \(f'\), concluimos que tienen multiplicidad \(2\) ambas. Más aún, \(f\) no puede tener más raíces, ya que \(gr (f) = 4\)

Luego en \(\mathbb{C} [x]\) y \(\mathbb{R} [x]\) la factorización de \(f\) es:

En \(\mathbb{Q} [x]\) nos queda: \(f = (x^{2} + 3 . x + 1)^{2}\)

5. Encontrar todos los \(c \in \mathbb{Z}\) tales que \((c^{2} + c + 1 : c + 5) = 7\).

Dividimos \(c^{2} + c + 1\) por \(c+5\). Lo que dá como resto \(21\)
Luego, como \((c^{2} + c + 1 : c + 5)\) = \((c+5 : 21)\), = \((c+5 : 3 \cdot 7)\). Para que eso sea \(7\) basta pedir \(c+5 \equiv 0 (7)\) y que además \(c+5 \not\equiv 0 (3)\). Es decir \(c \equiv 2 (7)\) y \(c \not\equiv 1 (3)\)

Bueno, creo que es todo, es muy posible que tenga un par de errores por ahí, tan solo avisen 😉 . Espero que se entienda, y os sirva. Saludos.

Los Recuperatorios no mueren

Saludos!

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$$Que\; no\; es\; lo\; que\; queriamos\; demostrar... \hspace{3cm}\Box$$

El 1) lo habia propuesto yo. Veo que encontraste una solucion mas facil que la mia. Lo que yo habia pensado era: \(a^4 \equiv 80 (101) \Rightarrow a^{96} \equiv 80^{24} \Rightarrow a\equiv a^{101}\equiv a^{96} a^5 \equiv 80^{24} 87(101)\) Y esto era lo que queria que calculen. Pero me quedaron los numeros para esta solucion mas facil

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Quimey

wow! cool post!

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Que grande Agustin! Me parece que aprobó xD