Tengo una GRAN duda sobre complejos, que me surge en cada ejercicio 🙁
A ver si alguien me puede ayudar...
El problema que tengo es cuando tengo que encontrar argumentos, más específicamente cuando aplico el Teorema de Moivre y todos sus corolarios... nunca sé bien cuándo tengo que restar o sumar \(2k\pi\).
Por ejemplo en este ejercicio (es uno de la práctica):
(No se como se escribe en latex z conjugado asi que lo voy a llamar \overline{z})
$$z^4=i\overline{z}^3$$
Si aplicara el teorema de Moivre y sus corolarios en CADA paso, lo que haría es:
\(4arg(z) - 2k\pi = arg(i)+arg(\overline{z}^3)-2k\pi\) <---- Acá aplique el corolario 1 en el lado izquierdo y el teorema de Moivre en el derecho.
\(4arg(z) - 2k\pi = arg(i) + 3arg(\overline{z}) -2k\pi -2k\pi\) <---- Acá volví a aplicar el cor1.
\(4arg(z) - 2k\pi = arg(i) + 3(-arg(z)+2k\pi) -2k\pi -2k\pi\) <---- Acá aplique que el argumento del conjugado de z es igual a \(-arg(z)+2k\pi\). Entonces distribuyendo y agrupando/simplificando los \(2k\pi\) me queda esto:
\(4arg(z) = arg(i) -3arg(z) + 4k\pi\) Y acá es donde me parece que hice todo mal :S, está bien que me quede \("+2k\pi"\)?
Espero que alguien me pueda orientar un poco con esto!! Quiero rendir el final y estoy al horno! :S
La mejor manera de pensar la situación creo que es la siguiente. Vos tenés \({z}^4=i{\overline{z}}^{3}\). Entonces lo típico es decir que tienen igual módulo y argumento... ahora, cuando tomás argumento, ocurre el tema de que en términos de ''ángulos'' pueden ocurrir que difieran(o sea, \(0\) y \(4\pi\) por ejemplo) pero que sin embargo tengan el mismo argumento. Esto se debe a que tomar argumento en lo profundo es definir una relación de equivalencia en \(\mathbb{R}\) del siguiente estilo: dos números reales \(a,b\) están relacionados, o sea \(a\sim b\) si y sólo si \(a-b=2k\pi\) para \(k\in \mathbb{Z}\), o sea, si difieren en un múltiplo entero de \(2\pi\), geométricamente, si difieren en una cantidad entera de giros. Luego, el decir que \(arg({z}^{4})=arg(i{\overline{z}}^{3})\) en realidad es mirar esa igualdad pero con clases según la relación de equivalencia anterior. Luego usás las propiedades del argumento y te da \(4arg(z)=\dfrac{\pi}{2}-3arg(z)\) de donde tenés \(7arg(z)=\dfrac{\pi}{2}\). Ahora, vos querés despejar el argumento pero la igualdad que tenés es de clases; en términos de números reales tenés \(7arg(z)=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\) y ahora tenés \(arg(z)=\dfrac{\pi}{14}+\dfrac{k\pi}{7}\).
Lo de las clases que dije tan arriba no es tan extraño; por ejemplo, considerá \(\mathbb{Z}_{5}\) y tenés \(3x\equiv 2(5)\). Esta ''igualdad'' en \(\mathbb{Z}_{5}\) se traduce en \(\mathbb{Z}\) como los \(x\) tales que \(3x-2=5k\) con \(k\) en \(\mathbb{Z}\). Luego, \(3x=5k+2\). Este mismo paso lo realizás con los argumentos y lo que pudo salir mal con los argumentos se traduciría acá en pasar dividiendo \(3\) en la equivalencia, o sea, \(x\equiv \dfrac{2}{3}(5)\). Pensando a \(3\) como un elemento de \(\mathbb{Z}\) no tiene mucho sentido en un principio esa operación(no así si uno piensa a \(3\) como la clase de \(3\). En este caso pasar diviendo es multiplicar miembro a miembro por \(2\)).
Lo que quiero decir con todo esto... es que cuando querés extraer resultados con argumentos, podés usar todas las igualdades sin drama salvo cuando querés pasar dividiendo. El \(2k\pi\) podés hacerlo aparecer en ese punto. Espero algo haberte podido aclarar.
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities