Tengo el siguiente ejercicio, probar lo siguiente:
Sean \(A, B\subseteq V\)
$$A \subseteq B \Longleftrightarrow B^{c}\subseteq A^{c}.$$
Por tabla de verdad me quedo esto :
Ahora tacho lo que no cumple con lo que pido, por ejemplo, si \(X\in A\) y \(X\not\in B\), esto es falso, pues \(A\subseteq B\)
Aca supuestamente estaria terminado el ejercicio pero nose como explicarlo 😛 . Vi que habian puesto un ejemplo donde ponian 2 columnas mas :
Si \(X \in A\) y \(X\in B \Rightarrow A \subseteq B\) es verdadero.
Esto, ¿Se lee asi?
La ultima fila me dice \(X \not\in A\) y\(X\not\in B \Rightarrow A \subseteq B\). Que \(X\) no este en A ni en B, no me contradice que \(A \subseteq B\) ¿Es por esto que se pone verdadero aca?
Es un ejemplo bastante simple que dieron justo a lo ultimo de la clase pero me quedo esa duda 🙁
Saludos
Perdon por los screen, nose hacer las tablas por latex todavia 🙁
Lo que yo queria ver es como las primeras columnas (las de los conjuntos A y B) implican la quinta columna. Y como la tercera y cuarta, implica la sexta columna 🙁
Las columnas 5 y 6 son el problema, no se porque ponen verdadero o falso viendo las otras :p
Primero antes que nada deberias tener más cuidado con las tablas. Esto es, lo que uno analiza con las tablas es cuando un elemento pertenece a un conjunto dado. Entonces las dos primeras columnas son en realidad: \(X \in A\) y \(X\in B\).
Entonces, si x está en A y está en B, entonces \(A \subseteq B\) es verdadero. Esto es, si x está en A y x está en B, entonces el valor de verdad asociado a que A esté incluido en B es verdadero. Porque si A estuviese incluido en B entonces todo elemento que pertenezca a A tiene que pertenecer a B. Después, un elemento está en B pero no en A no te da problemas para la inclusión. O sea que no te la contradice. Y que un elemento no este en ninguno de los 2 tampoco.
Ahora para la otra inclusión (\(B^{c}\subseteq A^{c}\)) mirás los valores de verdad de los complementos de B y A respectivamente. Y hacés el mismo análisis solo que en este caso que \(X \in B^{c}\) significa que \(X \not\in B\).
