Estaba pensando en lo siguiente: dado el conjunto de todos los números complejos con módulo 1, cuáles pertenecen a algún Gn? "Intuitivamente" uno podría pensar que todos, ya que Gn se puede refinar tanto como se quiera. Sin embargo calculo que hay mil casos exóticos (o no tanto) que se me escapan. Cómo entra en esto un complejo que incluye en su argumento un número trascendental que no es pi, por ejemplo?
Si alguien puede iluminarme o indicarme dónde puedo leer sobre esto se lo agradeceré mucho. Si estoy diciendo burradas avisen.
Muy interesante la pregunta.
Filosoficamente se podria decir que casi ningun numero de modulo 1 es raiz de la unidad. Ya que solo son raices de la unidad aquellos que tienen argumento \(q \pi q\in \mathbb{Q}\)
Es decir si eligen un numero r entre 0 y 1 que no sea racional entonces \(e^{2 i r \pi}\) no es raiz de la unidad. Dicho de otra forma los numeros de modulo 1 que son raices de la unidad se pueden contar mientras que los otros no.
Agergando a lo que dice Quimey, hay distintas nocionesa cerca de lo que quiere decir "mucho" o "muy poco". Por ejemplo, aunque hay muy pocas raices de la unidad, cualquier número de módulo 1 se puede aproximar arbitrariamente por alguien en \(G_n\) tomando el n suficientemente grande: ¡justificar!
La idea es exactamente la misma que la de aproximar reales por racionales. De hecho, es un lindo punto de encuentro entre el álgebra (I) y el análisis (I)... (pista... la función \(t \mapsto e^{it}\) es continua y su imágen es todo \(S^1\)...).
Bueno, para no agregar comentarios innecesarios, lo que dice Quimey más abajo es exactamente a lo que me refiero. Serán materias distintas, pero la matemática interesante es una sola. ¿Por qué Álgebra I no incluye ejercicios que supongan un poco de conocimiento de Análisis I y vic.? (me van a matar...).
Algo un poco( 😈 ) mas complicado. Si tomamos un z de modulo 1 que no sea raiz de la unidad y miramos el conjunto \({z^n:n\in \mathbb{N}}\) es denso en el conjunto de numeros complejos de modulo 1. Es decir que cuando tomamos su clausura nos da todo o que podemos aproximar a cualquier complejo de modulo 1 por uno de estos tanto como queramos.
(Creo que es cierto. Si fuera falso buscar contraejemplo)
Eso sale directamente de esto o es más complicado?
Tomando \(z / arg(z) \in \mathbb{I}, |z| = 1, \epsilon >0 \in \mathbb{Q}\) puedo asegurar que existe \(y \in \mathbb{C} / arg(y) \in (arg(z) + \epsilon, arg(z) - \epsilon)\) raíz de Gn, ua que entre dos irracionales siempre hay un racional y todo racional es raíz de algún Gn.
EStá perfecto, aunque habría que reordenar un poco la explicación. La idea sería algo así:
Si tenés un \(z \in S^1\), decís \(arg(z) \in [0,2\pi)\). Entonces, existe un racional \(q \in \mathbb Q\) arbitrariamente cerca de \(arg(z)\); como la función \(f(t) = e^{it}\) es continua (la definición de continua para una función que cae en \(\mathbb C\) es la misma que siempre, con epsilones y deltas; la diferencia es que cuando dice módulo, se debe entender módulo tomado en los complejos... si no, pueden pensar que \(\mathbb C\) es \(\mathbb R^2\) y es lo mismo), fijado \(\varepsilon > 0\), tenés que como \(q\) y \(arg(z)\) están tan "cerca" como yo quiera, entonces \(z = e^{iarg(z)}\) y \(e^{iq}\) están tan cerca como yo quiera.
Si alguien quiere reescribirlo con \(\varepsilon\) y \(\delta\), adelante, pero no cuenten conmigo...
Ese argumento de continuidad es escencial. Fijate que lo que vos decís acerca de que los valores de los argumentos y los números complejos estén cerca es exactamente eso.
Así sale que el conjunto de raíces de la unidad es denso en \(S^1\). Ahora, quiero ver que alguien resuelva lo que preguntó Quimey... es como algo que siempre supimos y nunca demostramos, aunque creo que con Julian (un amigo) lo terminamos de ver un día en Análisis Complejo, cuando estábamos muy al pedo, eran las 8:30 de la mañana, y volver a dormirse no era una opción.