Relación de equivalencia

Tengo una duda con los apuntes de Puddu, en un momento dice:

Consideremos la relación ≃ en \(\mathbb{Z}\) definida por \(a\) ≃ \(b\) si y sólo si \(b\) − \(a\) es divisible por \(4\). Dejamos como ejercicio verificar que es una relación de equivalencia.

No puedo imaginármelo. ¿Alguna ayuda? ¿Qué pinta tienen los de la relación?

Desde ya muchas gracias

Osea tenes que ver que es transitiva, reflexiva y simetrica.
Si es que esa era tu pregunta

Andy, pensalo así, agarrá algun valor para b, por ejemplo 8, y fijate que valores de a cumplen que \(8 - a\) es divisible por 4, por ejemplo \(a=0, a=4, a=8,\) inclusive \(a=-8\). Y eso para todos los b posibles, que son los enteros.
Los que yo mencioné serían, escritos como duplas de la forma \((a,b): (0,8), (4,8), (8,8), (-8,8)\)

Estoy pensando este ejercicio pero no me termina de cerrar.

Hasta ahora veo que la relación básicamente tendría la pinta \({a}-{b}={4}{c}\) . Todos enteros

Quería ver que es una Relación de Equivalencia

Es claro que es Reflexiva, pues a si a=b la fórmula sigue funcionando (0 es múltiplo de cualquier número).
Es simétrica porque si doy vuelta a con b entonces sigue valiendo todo, es sólo un cambio de signo de un lado.
¿Pero cómo miro la transitividad? Es válido decir que si a esta relacionado con b entonces b sólo puede estar relacionado con a y como era reflexiva es también transitiva. ¿Cómo justifico esta idea?

Mirá lo pensé y se me ocurrió esto. Como vos dijiste, sería de la forma \(b-a=4c\), si le tomás congruencia módulo 4, queda \(b-a\equiv 0 (4)\) o sea \(a\equiv b (4)\) y voilà. Eso ya te debería decir que es transitiva.

jhughes escribió:

....si le tomás congruencia módulo 4, queda \(b-a\equiv 0 (4)\) o sea \(a\equiv b (4)\) y voilà.....

Desconozco que es "congruencia módulo 4". No se si será algo de más adelante en la materia, pero si no encuentro otra forma intento buscar eso de congruencia. Muchas gracias de todos modos.

Andyvec escribió:

Es válido decir que si a esta relacionado con b entonces b sólo puede estar relacionado con a y como era reflexiva es también transitiva. ¿Cómo justifico esta idea?

esto es falso por ejemplo 8 esta relacionado con 16 pero no es cierto que 16 solo esta relacionado con 8, tambien lo esta con 24.

Para demostrar la transitividad podes plantear las ecuaciones correspondientes a la definicion de la relacion(similar a la que escribiste con a,b y c) y sumarlas.

Sería algo así:
\(a\) está relacionado con \(b\), entonces \(4|b-a\)
\(b\) está relacionado con \(c\), entonces \(4|c-b\)
Queremos ver que \(a\) está relacionado con c
Por propiedades de divisibilidad, \(4|(b-a)+(c-b)=c-a\), lo que significa que \(a\) está relacionado con \(c\).

Esto, dicho en términos de congruencia (es el tema que viene después de divisibilidad) sería \(a \equiv b (4)\) (se lee "\(a\) es congruente a \(b\) módulo \(4\)).
La congruencia es una relación de equivalencia, y la forma de probarlo (la única que conozco al menos) es hacerlo como te piden en el ejercicio.

Andyvec escribió:

Desconozco que es "congruencia módulo 4". No se si será algo de más adelante en la materia, pero si no encuentro otra forma intento buscar eso de congruencia. Muchas gracias de todos modos.

Ups. Hacele caso a Sofía entonces.