En un ejercicio de un parcial viejo encontré un ejercicio que da una sucesión dada por recurrencia y te pide una fórmula general y probarla por inducción. Formulas generales de hecho encontré dos, pero alguien sería tan amable de recordarme que es exactamente lo que tengo que probar para probar la formula general por inducción? No me acuerdo que es lo que tengo que probar. Muchas gracias!
Tema
Sucesiones dadas por recurrencia + inducción
Tenés que aprobar que la fórmula vale para \(P(n)\) y que sí vale para \(P(k) \Rightarrow\) vale para \(P(k+1)\)
Al menos en general, los ejercicios que hice, se prueban así. Tendrías que postear el ejercicio por las dudas 😛
Saludos...
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"What we observe is not nature itself, but nature exposed to our method of questioning..."
Werner Heisenberg
Gracias por la respuesta. Claro, eso es inducción, pero no estoy segura de como se relaciona con probar dos formulas, pruebo que si \(a(n)=b(n) \Rightarrow a(n+1)=b(n+1)\) ? (a y b son mis sucesiones) Tengo acá el ejercicio, cualquier cosa lo copio.
Postealo por favor ! no estoy seguro a lo que te referis.. Son 2 sucesiones?
Te lo copio. Igual aclaro que lo que yo digo es en general, más alla de este ejercicio.
Sea \({({a}_{n})}_{n \in \mathbb{N}}\) la sucesión de números reales definida por
$${a}_{1} = \frac{1}{2}$$
\({a}_{n+1} = \frac{1}{2} (1-\sum_{i=1}^{n}{a}_{i})\) \(n \in \mathbb{N}\)
Conjeturar una fórmula para el término general y probarla por inducción.
Llegué a dos fórmulas generales distintas:
$$t(n)=\frac{1}{{2}^{n}}$$
y
$$b(n)= \frac{1}{2} (1 - \sum_{i=1}^{n-1}{a}_{i})$$
Mi problema es que no se qué es lo que tengo que hacer para probar que t(n) o b(n) es igual a mi sucesión original, más allá de este problema, sino en general.
Gracias por la ayuda 😄
la b que pusiste depende de los valores anteriores de a.
lo que se busca en general es dar una formula que se pueda calcular a mano (sin calcular todos los terminos anteriores) en ese sentido t es la respuesta correcta.
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Quimey
Claro, me parecía que la segunda salía muy fácil para estar bien.
Y para probar que t es igual a la sucesión original por inducción que hay que probar? No entiendo cómo usar inducción. Gracias!
Pones como P(n) que \(a_n=t(n)\) y esto es lo que probas por induccion.
Los pasos serian:
- Aclarar que vas a hacer una demostracion por induccion de que la formula general es la que dijiste. Dejar en claro quien es P(n)
- Probar a mano el primer caso (o los que sean necesarios, depende del ejercicio y es complicado de explicar en el foro)
- Supones cierto todos los casos anteriores a un n (o solamente el caso n, idem item anterior) y despues probas que vale para el caso n+1
Ahi va. Sí, el paso inductivo es como siempre, pero no sabía de dónde partir. Muchas gracias.