Probar por induccion que:
$$\sum_{i=1}^{n} {2n} = {n}({n+1})$$
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Tema
[Resuelto] P:2 - Ej. 2 iii)
Si querés mañana me fijo si me sale en la facultad.
Sin Latex es un kilombo hacerlo...
Firma
$$\bigstar Sofi \bigstar$$
Va a ser complicado probar algo falso...
Tomemos n = 2. El lado izquierdo es 22 + 22 = 8. El lado derecho es 2(2+1) = 6.
No querrás decir \(\sum_{i=1}^{n} {2i} = n(n+1)\)? Este es cierto, y se prueba así:
Primero probamos el caso base, \(n = 1\).
\(\sum_{i=1}^{n} {2i} = 2 = 1(1+1)\). Probado. Ahora, asumiendo que es cierto para n, probemos para n+1. Osea, asumiendo que \(\sum_{i=1}^{n} {2i} = n(n+1)\), quiero ver que \(\sum_{i=1}^{n+1} {2i} = (n+1)(n+2)\).
\(\sum_{i=1}^{n+1} {2i} = 2(n+1) + \sum_{i=1}^{n} {2i}\) (le saqué el último término)
Por hipótesis inductiva, esto es igual a
\(2(n+1) + n(n+1) = (n+1)(n+2)\), que es lo que queríamos demostrar.
Firma
Por qué los poetas usan integrales?
Porque Riemann.
FJL escribió:
Va a ser complicado probar algo falso...
Tomemos n = 2. El lado izquierdo es 22 + 22 = 8. El lado derecho es 2(2+1) = 6.No querrás decir \(\sum_{i=1}^{n} {2i} = n(n+1)\)? Este es cierto, y se prueba así:
Primero probamos el caso base, \(n = 1\).
\(\sum_{i=1}^{n} {2i} = 2 = 1(1+1)\). Probado. Ahora, asumiendo que es cierto para n, probemos para n+1. Osea, asumiendo que \(\sum_{i=1}^{n} {2i} = n(n+1)\), quiero ver que \(\sum_{i=1}^{n+1} {2i} = (n+1)(n+2)\).\(\sum_{i=1}^{n+1} {2i} = 2(n+1) + \sum_{i=1}^{n} {2i}\) (le saqué el último término)
Por hipótesis inductiva, esto es igual a
\(2(n+1) + n(n+1) = (n+1)(n+2)\), que es lo que queríamos demostrar.
Pero si tomas n=2, seria 21+22=6 y el lado derecho es 2(2+1)=6 . O entendi mal sumatoria
pero eso no sale sin induccion?
en la sumatoria sacas el 2 para afuera y te queda
$$2.\sum_{i = 1}^n{i} = HI = 2. \frac{n.(n+1)}{2} = n.(n+1)$$
2n² = n² +n?
ya me lo explico sofi, y si sale
Cristianrock escribió:
FJL escribió:
Va a ser complicado probar algo falso...
Tomemos n = 2. El lado izquierdo es 22 + 22 = 8. El lado derecho es 2(2+1) = 6.No querrás decir \(\sum_{i=1}^{n} {2i} = n(n+1)\)?
Pero si tomas \(n=2\), seria \(2 \cdot 1+2 \cdot 2=6\) y el lado derecho es \(2 \cdot (2+1)=6\) . O entendi mal sumatoria
A lo que se refiere FJL es que seguramente copiaste mal el enunciado del ejercicio.
Creo que lo que debería decir es \(\sum_{i=1}^{n} {2i}\) (adentro de la sumatoria tenés la "variable" \(i\) que se mueve entre \(1\) y \(n\)).
Vos pusiste \(\sum_{i=1}^{n} {2n}\). Acá no tenés nada "que se esté moviendo".
Si tomás \(n=2\) como dijeron, te queda
\(\sum_{i=1}^{2} {2 \cdot 2} = \sum_{i=1}^{2} {4}\) y esto es sumar dos veces el número \(4\), o sea
$$\sum_{i=1}^{2} {4}= 2 \cdot 4=8$$
En general, si tenés \(\sum_{i=1}^{n} {c}\) (\(c\) una constante) es
$$\sum_{i=1}^{n} {c}= n \cdot c$$