RESUELTO! ejercicio 26, practica 5

Hola, como estan? soy nuevo en el foro y agradeceria qe me ayuden con este ejercicio porque no tengo idea como hacerlo :S probe de varias formas pero no llegue a ningun lado.

i) Hallar el resto de la division de \(3.{7}^{135}+{24}^{78}+{11}^{222}\) por 70
ii)Hallar el resto de la division de \({3}^{385}\) por 400
iii)Hallar todos los a en Z tales que \(539| {3}^{253}a + {5}^{44}\)

Muchas gracias 🙂

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en los primeros dos ejercicios lo q queres ver es a cuanto \(3.7^{135} + 24^{78} + 11^{222}\) es congruente modulo 70 en el primer caso y a cuanto es congruente modulo 400 \(3^{385}\) en el segundo caso.
Recorda que la congruencia separa sumas, es decir, si queres ver a cuanto \(3.7^{135} + 24^{78} + 11^{222}\) es congruente modulo 70, calcula a cuanto es congruente cada sumando modulo 70 y la suma de esos resultados te va a dar cuanto es la congruencia de toda la suma (se entiende??).
Y para ver a cuanto es congruente cada sumando, te conviene rescribirlo de alguna manera copada para cuando le calcules la congruencia te queden numeros chicos; te muestro un ejemplo con el primer sumando para q veas lo q estoy diciendo:
\(3.7^{135}\equiv_{(70)}3.7^{27.5}\equiv_{(70)}3.7^{{(5)}^{(27)}}\equiv_{(70)}3.(16807)^{27}\). Aca veo que \(16807\equiv7(70)\). Entonces \(3.(16807)^{27}\equiv_{(70)}3.7^{27}\equiv_{(70)}3.7^{{(9)}^{(3)}}\equiv_{(70)}3.(40353607)^{3}\) y \((40353607)^{3}\equiv7(70)\). Entocnes \(3.(40353607)^{3}\equiv_{(70)}3.7^{3}\equiv_{(70)}1029\equiv_{(70)}49\)

Entonces con esto llegamos a q \(3.7^{135}\equiv49(70)\). Esto lo haces con cada sumando y dsps sumas los 3 rtdos y el resto sera la congruencia modulo 70 de ese rtdo. Lo mismo tenes q hacer con el ej ii)

Para el ej iii) haces lo mismo, es decir, a esos dos sumando le haces el calculo de a cuanto son congruentes modulo 539. Como queres q 539 divida a esa suma, lo q estas pidiendo es q esa suma sea congruente a 0 modulo 539. Entonces cuando resuelvas cada sumando y le pidas q esa suma sea congruente a 0 modulo 539, vas a obtener una ecuacion de congruencia y lo q vas a tener q hacer es despejar de esa ecuacion a ( q no te va a dar un numero, te va a quedar algo asi como \(a\equiv j(539)\))

bueno, si no entendiste algo avisa

suerte

Mil gracias, se entendio perfecto 😄

saludos!

El primero lo podes resolver mediante el teorema chino del resto, porque \(70=7.2.5\) entonces ahi ya te te queda un sistemita y como \(2,5,7\) son primos podes usar el pequeño teorema de Fermat tranquilo.
En el segundo tengo mis dudas pero como dijeron arriba debe salir.