Sea \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) una función (no necesariamente continua) tal que \(f(0,0)=0\)
Decidir verdadero o falso (y dar demostración o contraejemplo):
Si por toda curva \(\gamma\) se tiene que \(\lim_{t\to 0} f\circ\gamma(t) = 0\) entonces \(\lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y) = 0\)[/*:m]
Si \(\lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y) = 0\) entonces por toda curva \(\gamma\) se tiene que \(\lim_{t\to 0} f\circ\gamma(t) = 0\)[/*:m]
Aclaración: Todas las curvas son continuas.
EDIT: y siempre \(\gamma(0)=(0,0)\)
Sea \(f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\) tal que \(0\) es el único mínimo relativo de \(f\), entonces es un mínimo absoluto.[/*:m]
Sea \(f:[-1,1]\to \mathbb{R}\) tal que \(0\) es el único mínimo relativo de \(f\), entonces es un mínimo absoluto.[/*:m]
Sea \(f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\) tal que \(f\) es discontinua en \(x\) para todo \(x\neq 0\), entonces \(f\) es discontinua en \(0\).[/*:m]
Sea \(f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\) tal que \(f\) es no-derivable en \(x\) para todo \(x\neq 0\), entonces \(f\) es no-derivable en \(0\).[/*:m]
Sea \(f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) tal que \(f\) es discontinua en \(x\) para todo \(x\neq (0,0)\), entonces \(f\) es discontinua en \((0,0)\).[/*:m]
Supongamos que \(\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) \neq 0\). Eso quiere decir que existen puntos \((x,y)\) muy cerca de \((0,0)\) tal que \(f(x, y)\) se mantiene lejos del cero. Dicho más formalmente, existe un \(\varepsilon > 0\) tal que, si me fijo en la bola de centro \((0,0)\) y radio \(1/n\) voy a encontrar un punto \(p_n\) con \(|f(p_n)| > \varepsilon\). Considero la curva \(\gamma\) que une todos esos puntos. Ahora alcanza con probar que \(\gamma \to (0,0)\) pero \(f \circ \gamma\) no tiende a \(0\), queda de tarea.