Problema de combinatoria

Quién puede darme la solución de este problema?:
Sea A el conjunto de los primeros 99 números naturales, se suman tres números de este conjunto de manera que el resultado sea múltiplo de 3.¿ De cuántas maneras puedo hacerlo?
Aclaración: el orden no importa, es decir da lo mismo sumar 1+1+4 que 4+1+1, que es múltiplo de 3.

a ver... te respondo lo q se me ocurrio asi fugazmente:

yo lo dividiria en casos: 9 en total (capas hay alguna forma mas rapida).
Los casos serian en los q agarras un numero \(n\equiv 0, 1, 2 (3)\) con los 3 numeros q tenes q tomar.
y de cada caso es facil contar cuantos numeros son multiplos de 3 cuando los sumas: para q sean multiplo de 3 la suma de sus cifras tiene q ser multiplo de 3.

Espero a ver ayudado.
Cpas q esta mal.... estoy cansado, vengo de 12 horas seguidas de facultad. Tened piedad!

Qué tal así?

Fijate que tenés que elegir tres números. La elección de los dos primeros no importa, pero el tercero define todo. Una vez elegidos los dos primeros, el tercero tiene que sumar de forma que quede múltiplo de 3. Hay entonces tres opciones: Si los dos primeros suman un múltiplo de 3, entonces tenés que sumar un múltiplo de 3. Si los primeros dos suman algo de la forma 3k+1, necesitás uno de la forma 3k-1, y viceversa. Así, después de elegidos los dos primeros, solo hay 33 opciones para el tercero. El número de formas de elegir es \(99^2 \cdot 33\)

Yossarian escribió:

Qué tal así?

Fijate que tenés que elegir tres números. La elección de los dos primeros no importa, pero el tercero define todo. Una vez elegidos los dos primeros, el tercero tiene que sumar de forma que quede múltiplo de 3. Hay entonces tres opciones: Si los dos primeros suman un múltiplo de 3, entonces tenés que sumar un múltiplo de 3. Si los primeros dos suman algo de la forma 3k+1, necesitás uno de la forma 3k-1, y viceversa. Así, después de elegidos los dos primeros, solo hay 33 opciones para el tercero. El número de formas de elegir es \(99^2 \cdot 33\)

En tu solucion estas considerando el orden de los numeros. Contas 1+2+3 y 3+2+1 como dos elecciones distintas cuando en realidad son iguales.

A mi me dio: \(33^3 + 3 \cdot \binom{33 - 1 + 3}{3} = 55572\)

Separe las elecciones en dos casos: a) los 3 numeros tienen el mismo resto al dividir por 3, b) los 3 numeros tienen distinto resto al dividir por 3. Es facil chequear que en cualquier otro caso la suma no es multiplo de 3. Entonces:

a) Obviamente hay 3 restos posibles. Para cada uno, hay que contar la cantidad de triplas en orden no decreciente entre 33 valores posibles. Esto es equivalente a ubicar 3 bolitas indistinguibles en 33 cajas distinguibles. "Bosones" creo que le llaman a este problema, se cuenta con un numero combinatorio.

b) Hay 33 posibilidades para cada numero, en total: \(33^3\)