Quería poner este ejercicio, que por alguna razón, pensando se me ocurrió(no pregunten como vino esto a mi cabeza). Lo peor de todo, es que lo creé y no se ni siquiera si intentar resolverlo(es decir, es muy trivial, o...). Dice así:
Dos personas, digamos A y B, juegan al siguiente juego; del conjunto de los números naturales, eligen n de los mismos, todos distintos, y los escriben en cartas distintas(es decir, en n cartas). Luego, las mezclan. El jugador A toma la primera carta. Lee el número \({k}_{1}\), y piensa un polinomio \({P}_{1}\) de grado \({k}_{1}\) con raíces todas simples. El jugador B elige una de las raíces de \({P}_{1}\), digamos \({\alpha}_{1}\). Luego el jugador B toma otra carta, lee el número \({k}_{2}\), y piensa un polinomio \({P}_{2}\) de grado \({k}_{2}\), con raíces todas simples. El jugador A elige una raíz de este polinomio, digamos \({\alpha}_{2}\). Luego elige otra carta y sigue así hasta que terminan todas las cartas. De esta manera, quedaron formados una sucesión de polinomios \({({P}_{k})}_{k\in \mathbb{N}}\subset \mathbb{C}[X]\) y una sucesión de raíces \({({\alpha}_{k})}_{k\in\mathbb{N}}\subset \mathbb{C}\). Se construyen los polinomios \(f\eq=\sum_{k\eq=1}^{n}{P}_{k}{X}^{k}+1,\;g\eq=\sum_{k\eq=1}^{n}{\alpha}_{k}{X}^{k}+1\). Si ambos polinomios son coprimos, gana el jugador A. Caso contrario, gana B. Decidir si alguno tiene alguna estrategia ganadora, cualquiera sea la elección de los n naturales.
Puede que el problema tenga solución trivial, pero... bueno. Espero que alguno quiera pensarlo, o al menos verlo. Gracias.
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
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