Tema
La idea es la siguiente; probar que para todo \(n\in\mathbb{N}\), existen n números enteros consecutivos tales que ninguno es una potencia perfecta de algún un primo(es decir, no es de la forma \({p}^{k},k\in\mathbb{N}\)).
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
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¿qué es una potencia perfecta?
Ahi aclaré lo que quería decir.
Será \(k\geq 2\) si no todo numero sería divisible por \(p^1\). Hay algo que me estoy perdiendo?
Quimey
A ver si entendí bien... ¿vos decís que hay sucesiones arbitrariamente largas de la forma \(k+1, k+2, \ldots k +n\) libres de cuadrados? (un número se dice libre de cuadrados si ningún número cuadrado lo divide... o equivalentemente, si en su factorización por primos, ninguno aparece a una potencia mayor a 1).
Lo volví a editar. Espero que ahora se entienda
Creo que lo tengo:
Elijamos \(2n\) primos distintos \(p_1,q_1,p_2,...,q_n\) ahora podemos plantear el sistema de ecuaciones de congruencia \(X + i \equiv 0 (p_i q_i) \ i=1..n\) Por el teo chino del resto esto tiene solucion N. Es claro que \(p_i q_i | N+i \ i=1..n\) entonces N+i no es una potencia de un primo para i=1..n q.e.d
¿No había un problema parecido en la ibero del año pasado? (aguante el TCR :p)
Me parece que no, pero en la paenza 1990 encontre esto:
\(\forall l>0 \exists a,b\) coprimos tales que ningun punto del cuadrado con vertices\((a,b),(a,b+l),(a+l,b),(a+l,b+l)\) tiene coordenadas coprimas
Si!
¿Tu problema no es equivalente a probar que existen n números compuestos consecutivos que además son divisibles por al menos dos primos distintos?
En ese caso la respuesta no es tan complicada porque mirá
Si vos querés 6 compuestos consecutivos tenés:
49! + 2 se divide por 2 pues es suma de pares y es congr con 2 módulo 4 luego puede escribirse como 2 por otro numero no divisible por 2.
49! + 3 se divide por 3 pues es suma de múltiplos de 3 y es congr con 3 módulo 9 luego puede escribirse como producto entre 3 y un número no divisible por 3.
49! + 4 se divide por 4 y es congr con 4 modulo 16 idem....
49! + 5 idem
49! + 6 idem
49! + 7 idem
En general si querés n compuestos consecutivos de esa forma sería:
\(({(n+1)}^{2})! + 2\) hasta \(({(n+1)}^{2})! + n+1\)
¿Esta bien? díganme si encuentran algo mal...
Ale:
Tu solucion esta bien. Fijate que yo escribi casi lo mismo