Parte entera y principio de Arquímedes

Si defino a la parte entera de un número como \([x] = m\'ax\{m \in{\mathbb{Z}} | m \leq x\}\), quiero ver que \([x]\) existe. Con lo cual voy a ver que \({m \in{\mathbb{Z}} | m \leq x}\) tiene máximo, léase, ver que tiene supremo y está dentro del conjunto.
La pregunta es.... por qué ese conjunto no es vacío?. Es evidente que siempre tengo un entero más chico o igual que cualquier real, pero no lo veo claro aplicando Arquímedes, o sea, que \(si \, a,b > 0 => \exists n \in{\mathbb{N}} \,/\, b < a.n\)
Algún tip?

Para ver que es no vacío, fijate que tomando \(|x|\), como los naturales no están acotados, existe \(N\) natural tal que \(|x|\leq N\iff -N\leq x\leq N\). Resulta que \(-N\in \mathbb{Z}\) y en particular, verifica que está en el conjunto que vos indicás.

Mil gracias.