demostrar una propiedad

No se si va acá pero acá es el mejor lugar que encontré.
Conocidisima la siguiente propiedad:
Sea \(f:[a,b] \in \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) una función \(\implies\)
f es contínua en \(x \in [a,b]\) \(\Longleftrightarrow\) \(\forall { ({X}_{n})}_{n \in \mathbb{N}} \in \mathbb{R}\) sucesión \(/ \lim_{n \rightarrow \infty} {x}_{n}=x\) \(\lim_{n \rightarrow \infty}f({x}_{n})=f(x)\)

Lo que quiero es demostrarlo. La primera implicación no tengo problemas para demostrarla, es facil. Pero la vuelta me está costando una banda, me molesta ya a esta altura. Si me pueden ayudar con eso se agradece.

La vuelta se hace por el contrarrecíproco. O sea, que \(f\) no sea continua en \(x\) quiere decir que existe \(\epsilon >0\) tal que para todo \(\delta >0\), existe \(x'\in [a,b]\) tal que \(|x-x'|<\delta\) pero \(|f(x)-f(x')|\geq \epsilon\). Ahora, hacemos así:
-tomando \(\delta \eq=1\), existe \({x}_{1}\in [a,b]\) tal que \(|x-{x}_{1}|<1\) pero \(|f(x)-f({x}_{1})|\geq \epsilon\)
...
-tomando \(\delta \eq= \frac{1}{n}\), existe \({x}_{n}\in [a,b]\) tal que \(|x-{x}_{n}|<\frac{1}{n}\) pero \(|f(x)-f({x}_{n})|\geq \epsilon\)

Así, armamos una sucesión \({({x}_{n})}_{n}\subseteq \mathbb{R}\) que verifica \(|x-{x}_{n}|<\frac{1}{n},\forall n\), lo que implica(tomando límite) que \({x}_{n}\rightarrow x\), pero \(|f(x)-f({x}_{n})|\geq \epsilon >0\), es decir, que la sucesión\({(f({x}_{n}))}_{n}\) no converge a \(f(x)\).

En definitiva, probamos que si no es continua en \(x\), existe una sucesión \({({x}_{n})}_{n}\) convergente a \(x\) tal que \({(f({x}_{n}))}_{n}\) no converge a \(f(x)\), lo que es equivalente a que la vuelta que querías probar sea verdadera.
Fijate si ayuda. Saludos.

Buena ooonda, gracias marcelo.