Ejercicio sobre convergencia casi segura.

Buenas, leyendo un poco de probabilidad me topé con este ejercicio que no logro resolver, quizás alguno me puede dar una mano.

Sea \(X_n\) una sucesión de variables aleatorias i.i.d.
Probar que \(\frac{X_n}{n} \xrightarrow{c.s.} 0\) si y solo si \(E(|X_1|) < \infty\)

Para la vuelta pensaba usar el lema Borel Cantelli, ya que \(\frac{X_n}{n} \xrightarrow{c.s.} 0\) si y solo si \(\forall \epsilon > 0, P(|\frac{X_n}{n}| > \epsilon\ i. o. ) = 0\)
Para esto necestiaría acotar \(\Sigma_{n=1}^\infty P(|\frac{X_n}{n}| > \epsilon)\) para luego usar el Lema.
Con las desigualdades clásicas (Cheby, Markov, etc) no pude acotarlo. No se si la solución es por otro lado o solo no puedo encontrar la cota.

ACLARACIÓN: El problema es del libro Introducción a la probabilidad de Leonardo Rolla, y está antes de ver los teoremas de convergencia (LDGN y TCL).

Saludos.

Hola, yo vi ese ejercicio como tercer ítem de un ejercicio de un final.
Te paso los dos primeros (que hay que usar para probar eso que decís), si no te sale avisá y te tiro más pistas 🙂

Ejercicio
\(a)\) Sea \(X\) variable aleatoria con rango contenido en los enteros no negativos. Probar que \(E(X)= \sum_{k \in \mathbb{N}}{}}P(X \geq k)\)
\(b)\) Si \(X\) es una variable aleatoria cualquiera, probar que \(\sum_{k \in \mathbb{N}}{}}P(|X| \geq k) \leq E(|X|) \leq \sum_{k \in \mathbb{N}}{}}P(|X| \geq k)+1\)
Concluir que \(E(|X|)\) es finita si solo si esa suma finita .
\(c)\) Probar que si \(Xn\) iid con esperanza finita \(\frac{X_{n}}{n}\) tiende a \(0\) casi seguramente.