Tema
Ayer como un ganzo me olvidé la libreta para firmarla así que tuve que volver hoy, y de paso pedí una copia de los recuperatorios que estaban tomando. cualquier duda o ejercicio con el que tengan dificultades dejen un comentario y posteo la solución. espero que les sirva!
como estoy medio aburrido dejo la solucion del 3) que parece el único interesante:
\(L[f](s) = \int_{0}^{+ \infty } f(t) e^{-st} dt = \int_{0}^{4T} f(t) e^{-st} dt\) \(= \int_{0}^{T} f(t) e^{-st} dt + \int_{T}^{2T} f(t) e^{-st} dt + \int_{2T}^{3T} f(t) e^{-st} dt + \int_{3T}^{4T} f(t) e^{-st} dt = \bigstar\) y ahora usando el cambio de variable \(t = u + T\) en la segunda integral, \(t = u + 2T\) en la tercera integral y \(t = u + 3T\) en la cuarta integral se tiene que \(\bigstar = \int_{0}^{T} f(u) e^{-su} du + \int_{0}^{T} f(u + T) e^{-s(u + T)} du + \int_{0}^{T} f(u + 2T) e^{-s(u + 2T)} du\) \(+ \int_{0}^{T} f(u + 3T) e^{-s(u + 3T)} du = \blacklozenge\) y ahora sabemos que \(f(u) = f(u+T) = f(u+2T) = f(u+3T)\) porque \(f(u)\) es \(T\)-períodica \(\Rightarrow \blacklozenge =\) \(\int_{0}^{T} f(u) e^{-su} du + \int_{0}^{T} f(u) e^{-s(u + T)} du\) \(+ \int_{0}^{T} f(u) e^{-s(u + 2T)} du\) \(+ \int_{0}^{T} f(u) e^{-s(u + 3T)} du =\) \(\int_{0}^{T} f(u) e^{-su} du + e^{-sT}\int_{0}^{T} f(u) e^{-su} du + e^{-2sT}\int_{0}^{T} f(u) e^{-su} du\) \(+ e^{-3sT}\int_{0}^{T} f(u) e^{-su} du =\) \(= (1 + e^{-sT} + e^{-2sT} + e^{-3sT}) \int_{0}^{T} f(u) e^{-su} du\) \(\Box\)