Si expando la serie puedo ver que es igual a una serie de \({(z-i)}^{n}\) con término general igual a \(0\: \textt{si}\: n \neq {m}^{2}\) e igual a \(\frac{{3}^{{m}^{2}}m}{{e}^{m}{m}^{2}+{e}^{m}}\: \textt{si}\: n = {m}^{2}\)
Entonces, uso el criterio de Cauchy
Eso creo que esta bien, mi pregunta es, puedo aplicar criterio de Cauchy de una (o sea, aplicarselo a \(\frac{{(3z-3i)}^{{n}^{2}}n}{{e}^{n}{n}^{2}+{e}^{n}}\)) Creo que como poder se puede, pero como no puede llegar a nada a través de ese camino, pregunto por las dudas
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When the Prime Minister asked of a new discovery, 'What good is it?', Faraday replied, 'What good is a new-born baby?'
Hay algo que no me cierra de lo que estás haciendo. Para que la serie converja no tenés que pedir que todos lo que pusiste sea menor a 1. O sea,
\(\frac{{|3z-3i|}^{n}}{e}\sqrt[n]{\frac{n}{{n}^{2}+1}}<1\; \textrm{cuando n tiende a infinito}\)
Por lo que no solo tenes que pedir que \(|3z-3i|<1\)
el tema es que, como está planteada la serie, tenés dos opciones: o se va a infinito, o se va a 0, porque lo que tenés es el módulo de un número complejo elevado a la n.. por ese motivo no importan las constantes que tengas, porque sean cuales sean esas constantes, como no dependen de n (o sea, la raiz esa que está ahí sí, y tiende a 1 cuando n tiende a infinito). Así que, en este caso, la única manera de que todo lo que está ahí sea menor que 1 cuando n tiende a inifnito es que sea 0 (porque sino tiende a infinito, y bueno).
En un caso donde haciendo Cauchy no te queda el módulo del complejo elevado a la n no tenés este problema, ahí si importan las constantes.
Me creés ahora? (expliqué todo hablado porque es muy tarde para ponerme a latexear jaja)
Ahhhh, muchas gracias, lo entedí ahora.
Lo que haces vos lo podés hacer porque la raíz esa te tiende a un número finito, si tendiese a infinito tendrías que ver bien como es el límite (y si tiende a cero también, porque si tiende a cero más rápido que lo que lo otro a infinito tendrías radio de convergencia infinito). ¿Se entedió esto último?
claro, sí, si esa raiz no tendiera a 1 o a otro número así tendría una indeterminación .. y no sé qué haría, jaja. Creo que si tendiese a infinito para todo |z-i| el radio sería 0, pero ya no puedo afirmarlo
Lo que hizo pato al princpio es correcto, pero no está justificado. Fijate que el criterio de Cauchy dice que el límite \(lim \sqrt[n]{a_n}\) tiene que ser menor que 1. Si tomás como \(a_n\) lo que decís vos, el límite no existe, porque inifinitos de los términos son cero, pero tenés una subsucesión que no se va a cero. Lo que vos hacés está "bien" y se justifica con algo un poco más sofisiticado, pero digamos que no vimos lo suficiente.
Bel tiene razón que se puede aplicar Cauchy de una, pero hay un pequeño error en lo que dice... ¿qué pasa si \(|z-i| = 1\)?
Me clavé un cuchillo en un dedo lavando los platos, saludos.
eeh.. a ver? si \(|z-i|=1\) entonces quedaría.. mm..
\(\frac{{3}^{n}}{e}\sqrt[n]{\frac{n}{{n}^{2}+1}} \longrightarrow \infty\) cuando \(n \rightarrow \infty\) .. o sea que diverge.. o no? pero eso ya estaba ocntemplado en el resultado anterior. no entiendo 😄
pd: uun saludo a tu dedo :p
pd2: creo que a la mañana de hecho les dijeron que lo resolvieran así (como lohizo pato)